Integral zu berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Do 10.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo,
ich bin gerade auf ein Integral gestoßen, bei dem ich nicht weiß, wie ich es berechnen kann.
[mm] \integral_{-unendl.}^{100}_{xe^{-(\bruch{x-\mu}{2\sigma})^{2}} dx}
[/mm]
Ich habs schon mit Substitution und partieller Integration versucht. Leider bin ich immer hängen geblieben.
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 10.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Shiddi!
Substitution ist hier der richtige Weg ...
Was hast du denn versucht zu substituieren?
Und wo bist Du dann hängengeblieben?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Servus Loddar,
ich habe:
[mm] \bruch{x- \mu}{2\sigma}
[/mm]
substituiert.
Aber es bleibt irgendwie immer ein x im Integral stehen. :-(
Was mache ich da nur?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 11.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo Shiddi,
versuchs mal mit [mm] -(\bruch{x-\mu}{2\sigma})^{2} [/mm] (also dem gesamten Exponenten)
Grüße,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo,
ich habe den ganzen Bruch
[mm] -\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2} [/mm]
substituiert. Mit:
dx= [mm] \bruch{dt*\sigma^{2}}{\mu-x}
[/mm]
Eingesetzt ins Integral ergibt dies:
[mm] \integral_{-unendl.}^{100}_{\bruch{xe^{t}\sigma^{2}}{\mu-x} dt}
[/mm]
Aber was nun, es sind immernoch x im Integral?
Genau hier bleibe ich immer stecken.
Mach ich irgendetwas falsch?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mo 14.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
sorry, das war ne Schnappsidee von mir. Dein erster Ansatz war schon ganz richtig. Du musst das dann halt noch so zu Ende führen wie SchwarzesSchaf unten beschrieben hat...
Grüße,
Chris
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Hallo,
mit [mm] \bruch{x-\mu}{2\sigma} [/mm] zu substituieren liegst du schon recht gut, die Gleichung kannst du dann noch nach x umformen und dann ebenfalls substituieren ( [mm] x=2y\sigma+\mu [/mm] ). DAnn kannst du ausmultiplizieren und hast zwei Summanden zu integrieren, das ist dann nicht mehr schwer.
Viel Spaß und Erfolg beim probieren ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo! 
Zunächst mal vielen Dank für die Hilfe. Ich habe bisher Folgendes gerechnet:
Ausgangsintegral:
[mm] \integral_{-unendl.}^{100}_{xe^{-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}} dx}
[/mm]
(Achtung: Bei meinem Ursprungsintegral ist mir die 2 vor das Sigma gerutscht. So ist es nun richtig.)
Nun Substituierte ich [mm] t=\bruch{x-\mu}{\sigma} [/mm] --> [mm] x=\sigma t+\mu
[/mm]
--> [mm] dx=-dt*\bruch{\sigma}{\mu}
[/mm]
So nun das Ganze einsetzten:
[mm] \integral_{-unendl.}^{100}_{(\sigma t+\mu)e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}*(-\bruch{\sigma}{\mu}) dt}
[/mm]
Nun ausmultiplizieren:
[mm] -\integral_{-unendl.}^{100}_{\sigma t e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}*\bruch{\sigma}{\mu} + \mu e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}*\bruch{\sigma}{\mu} dt}
[/mm]
Als Nächstes Konstanten rausziehen und Integral aufteilen:
[mm] -\bruch{\sigma}{\mu}(\sigma\integral_{-unendl.}^{100}_{t e^{-\bruch{1}{2}t^{2}} dt} [/mm] + [mm] \mu\integral_{-unendl.}^{100}_{e^{-\bruch{1}{2}t^{2}} dt})
[/mm]
So nun habe ich mich leider wieder festgefahren. Wie geht es weiter? Ich dachte, dass [mm] \integral_{0}^{y}_{e^{-x^{2}} dx} [/mm] nicht lösbar sein? Hm...
Oder habe mich verrechnet?
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Bin genauso so weit gekommen und genau an der gleichen STelle gescheitert. Ich werde mich da noch etwas dran versuchen und meld mich morgen nochmal.
Gruß, Liane
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Hallo Shiddi,
mal ne Frage. In welchem Zusammenhang musst du die Aufgabe den machen? Direkt in Analysis oder doch nem andern Kurs? Die Funktion stimmt beinah mit der Standardnormalverteilung überein und würde als Vorfaktor anstatt x dort [mm] \bruch{x-\mu}{\sigma} [/mm] stehen könnte ich dir relativ schnell ne Lösung geben. Selbst ein Programm dass einem Stammfunktionen bilden kann zeigt dort error an. Also mittlerweile zweifle ich an der Lösbarkeit dieser Aufgabe. Sorry ...
PS: Wenn du die substituierst musst du auch die Laufindexe des Integrals ändern, dadurch würde der obere Index [mm] \bruch{100-\mu}{\sigma} [/mm] sein.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 08:34 Di 15.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo Liane,
nett, dass Du mir hilfst.
Ja, Du hast völlig recht, es geht um die Normalverteilung. [mm] \bruch{1}{\sigma\wurzel{2\pi}} [/mm] hab ich aus dem Integral gezogen und nicht mehr mit aufgeführt - war mir zu lästig einzutippen
Tja, nun scheint guter Rat teuer, was?
Soll ich nochmal nen neuen Strang mit der Frage eröffnen? Was meinst Du? Dass es noch mehr Leute sehen können?
Viele Grüße
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Di 15.02.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo!
Das Integral [mm] \integral {e^{-x^{2}} dx} [/mm] besitzt zwar keine elementare Stammfunktion, es gilt jedoch [mm] \integral_{0}^{ \infty} {e^{-x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
(Genau dasselbe ergibt d as Integral [mm] \integral_{-\infty}^{ \infty} {e^{-x^{2}} dx} [/mm] )
Vielleicht kannst du damit was anfangen, oder zumindest irgendwelche ungefähren Resultate herleiten ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 15.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
post doch jetzt die wirkliche Aufgabe, ohne jede Abkürzung und zwischenrechnung! Wenn du dir 2 Minuten mit der Eingabe sparst machst du vielen Leuten die helfen wollen viel Arbeit umsonst!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 15.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo leduart,
gerne schreibe ich den ganzen Term auf, aber was soll denn der aggressive Ton? Es handelte sich lediglich um eine Konstante, die für die Integralberechnung unwichtig ist.
[mm] \bruch{1}{\sigma\wurzel{2\pi}}\integral_{-unendl.}^{100}_{xe^{-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}} dx}
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:38 Di 15.02.2005 | | Autor: | kuroiya |
also, nehmen wir uns dem Integral mal an:
[mm] \bruch{1}{\sigma \wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{100}xe^{-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}}
[/mm]
subst: t = [mm] \bruch{x - \mu}{\sigma} \Rightarrow [/mm] x = [mm] t\sigma [/mm] + [mm] \mu [/mm] , dx = [mm] \sigma [/mm] dt
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}(\sigma [/mm] t + [mm] \mu)e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt
[/mm]
= [mm] \bruch{\mu}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt [/mm] + [mm] \bruch{\sigma}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}te^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt
[/mm]
= [mm] \bruch{\mu}{\pi}\integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma \wurzel{2}}}e^{-z^{2}}dz [/mm] + [mm] \bruch{\sigma}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma \wurzel{2}}}te^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt
[/mm]
hier weiss ich auch nich so genau weiter, ich denke, man muss es irgendwie noch auf eine Form bringen, dass man
[mm] \integral_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx [/mm] = [mm] \wurzel{pi}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}x^{n}e^{-\alpha x^{2}}dx [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1*3...*(2k-1)*\wurzel{\pi}}{2^{k+1}\alpha^{k+\bruch{1}{2}}}, & \mbox{für } n \mbox{ 2k} \\ \bruch{k!}{2\alpha^{k+1}}, & \mbox{für } n \mbox{ 2k + 1} \end{cases}
[/mm]
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Hallo Shiddi,
Ich gehe davon aus das deine Funktion nicht elementar integrierbar.
Auch Wolfram's ![[]](/images/popup.gif) Integrator ( Mathematica) benutzt diese Funktion zum Anzeigen der Lösung, die bei Dir ja auch aufgetaucht ist.
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Shiddi!
Mit der Substitution hast du dich ein bisschen verhaspelt - versuche das bitte noch einmal.
Die Aufgabe besteht jetzt darin, so vermute ich, das Ergebnis mit Hilfe der Verteilungsfunktion [mm] $\Phi$ [/mm] der Standardnormalverteilung darzustellen, was ja ohne weiteres möglich ist.
Es gilt:
[mm] $\Phi(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}}\, [/mm] dt$.
Versuche das bitte mal...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo nochmal,
ich glaube nun hast Du auch ein [mm] \sigma [/mm] vergessen
[mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}te^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt+\mu \frac{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt[/mm]
Ich denke es müsste so heißen:
[mm]\bruch{\sigma}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}te^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt+\mu \frac{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt[/mm]
Nun habe ich mal Deinen Tipp ausprobiert:
[mm] e^{-\bruch{1}{2}t^{2}} [/mm] abgeleitet ist [mm]-te^{-\bruch{1}{2}t^{2}}[/mm]. Cool, d.h.:
Die Stammfunktion des ersten Intgrals lautet dann:
[mm]-e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}[/mm]
Richtig? Und die Stammfunktion des zweiten Integrals müsste so lauten:
[mm]-\bruch{1}{t}e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}[/mm]
Was hälst Du davon?
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Do 17.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo,
also zuerst nochmal zu diesem [mm] \sigma [/mm] - ich verstehe es noch immer nicht :-( :
Ausgangsintegral:
[mm] \bruch{1}{\sigma \wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{100}xe^{-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}}dx
[/mm]
subs.: [mm] t=\bruch{x-\mu}{\sigma}
[/mm]
[mm]x=t\sigma+\mu[/mm]
[mm]dx=\sigma dt[/mm]
Eingesetzt und ausmultipliziert:
[mm] \bruch{1}{\sigma \wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}t\sigma^{2}e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}+\sigma\mu e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt
[/mm]
Nun kann ich ein [mm] \sigma [/mm] raus ziehen und kürzen und danach das Integral aufteilen:
[mm]\bruch{\sigma}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}te^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt+\mu \frac{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\bruch{100-\mu}{\sigma}}e^{-\bruch{1}{2}t^{2}}dt[/mm]
Wie kriegst Du denn das [mm] \sigma [/mm] beim ersten Integral noch weg? *grübel*
OK, unter der Annahme, dass Deine Lösung richtig ist (also ohne [mm] \sigma), [/mm] was hälst Du dann von folgender Lösung (ich weiß leider nicht, wie ich in dem Formeleditor die eckigen Klammern um die Stammfunktion bekomme):
[mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}-e^{-\bruch{1}{2}t^{2}} + \mu\Phi(\bruch{100-\mu}{\sigma})[/mm]
Die Sache mit dem [mm] \Phi [/mm] habe ich leider nicht ganz verstanden - deshalb ist die Lösung vielleicht auch totaler Quatsch?!
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo Julius,
wenn ich nun alles richtig aufgelöst habe, müsste die Lösung zu dem Integralso aussehen:
Aufgabe:
[mm] \bruch{1}{\sigma \wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{100}xe^{-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}}dx
[/mm]
letzte Schritte:
[mm]\bruch{\sigma}{\wurzel{2\pi}}(-e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{100-\mu}{\sigma})^{2}}+e^{-\bruch{1}{2}(-\infty)^{2}})+\mu\Phi(\bruch{100-\mu}{\sigma})[/mm]
[mm] e^{-\bruch{1}{2}(-\infty)^{2}} [/mm] ist ungefähr = 0
Also die Lösung:
[mm] -\bruch{\sigma}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{100-\mu}{\sigma})^{2}}+\mu\Phi(\bruch{100-\mu}{\sigma})
[/mm]
So, was hälst Du nun davon? Kann das stimmen? Oh, ich wäre sehr froh
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Shiddi!
Ja, dieses Ergebnis sollte jetzt stimmen!! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Julius
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
, überprüfe das bitte noch einmal.
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
Ich weiß auch nicht, was ich da gerechnet habe... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
