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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 So 24.09.2006 | | Autor: | Toby |
| Aufgabe | | Bestimme die Parallele zur 1. Achse, die mit dem Graphen von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] eine Fläche mit dem Inhalt [mm] $\bruch83 [/mm] * [mm] \wurzel{2}$ [/mm] einschließt. |
wie finde ich nun diese gerade, habe probleme beim ansatz..worin liegt der knackpunkt?danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 So 24.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
Zu allererst mal solltest du sagen welche Achse du mit 1.Achse meinst, die y-Achse oder die x-Achse. Ich denke allerdings es ist eine Parallele zur y-Achse gemeint, denn dieser Fall ist einfacher, es ginge zwar auch der Andere aber das wäre komplizierter. Also ich gehe hier von einer Parallele zur y-Achse aus.
Um eine Fläche unter dem Graphen zu berechnen musst du doch das Integral über der Funktion bilden, dann die Obersumme und Untersumme voneinander subtrahieren und am Ende hast du die Fläche. Genauso machst du es hier auch, nur hier hast du die Fläche schon vorgegeben. Da es sich hier bei dem Graphen um eine Normalparabel durch den Ursprung handelt ist auch das Integral nicht schwierig zu lösen. Allerdings muss man aufpassen, denn es gibt eigentlich zwei Möglichkeiten, denn die Parallele kann rechts oder links von der y-Achse liegen außer du hast eine Einschränkung für x. Man muss demnach also zwei verschiedene Integrale bilden.
Das heißt: 1.Integral: [mm] \bruch{8}{3}\wurzel{2}=\integral_{0}^{a}{x^2 dx}
[/mm]
2.Integral: [mm] \bruch{8}{3}\wurzel{2}=\integral_{0}^{-a}{x^2 dx}
[/mm]
Diese beiden Integrale musst du nun jeweils lösen und dann jeweils nach a auflösen. Ich habe als Obergrenze hier a und nicht x genommen, damit man nicht durcheinander kommt.
Ich hoffe das genügt für den Ansatz und den Rest der Aufgabe.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 24.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Die 1. Achse ist mir nur unter x-Achse bekannt!
Also eine Gerade mit der Gleichung y=c, [mm] c\in \IR.
[/mm]
Erstmal muss man die Integrationsgrenzen bestimmen. Diese wären da, wo y=x² y=c schneidet. Also bei [mm] \pm \wurzel{c}.
[/mm]
Jetzt musst du also das bestimmte Integral c von [mm] -\wurzel{c} [/mm] bis [mm] \wurzel{c} [/mm] nehmen und das Bestimmte Integral x² von [mm] -\wurzel{c} [/mm] bis [mm] \wurzel{c} [/mm] davon abziehen (mach dir eine Skizze, falls du es nicht nachvollziehen kannst!).
Formelhaft:
[mm] \integral_{-\wurzel{c}}^{\wurzel{c}}{c dx}-\integral_{-\wurzel{c}}^{\wurzel{c}}{x² dx}
[/mm]
Vereinfacht:
[mm] \integral_{-\wurzel{c}}^{\wurzel{c}}{c-x² dx}
[/mm]
Nochmals vereinfacht:
[mm] 2*\integral_{0}^{\wurzel{c}}{c-x² dx}
[/mm]
(wegen der Symmetrie braucht man nur eine Seite betrachten und kann den Flächeninhalt dann verdoppeln)
Und nun musst du nur noch berechnen:
[mm] 2*\integral_{0}^{\wurzel{c}}{c-x² dx}=\bruch{8}{3}*\wurzel{2}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 24.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi Teufel,
das wäre dann die andere Möglichkeit, die ich gesagt habe. Ich denke jetzt im Nachhinein ist deine die Wahrscheinlichere zu der gegebenen Aufgabenstellung.
Gruß,
clwoe
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