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Integralberechnung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Fr 25.03.2005
Autor: dark-sea

Hallo! Ich leide momentan (glaub ich) unter 'black outs' wegen dem bevorstehenden Abi in 1 1/2 Wochen. Ich finde in den Mengen meiner Mathebücher trotzdem keine Antwort auf diese Frage:

Ich möchte den Integral berechnen. Nur fehlt mir der letzte Schritt, um die Lösung ohne GTR berechnen zu können.

f(X)=-X+2;  g(X)=X²
X1=1;  X2=-2

A= [mm] \integral_{-2}^{1} [/mm] {(X²-X+2) dx}
  = [ 1/3 *  [mm] x^{3} [/mm]  -   1/2 * X² + 2X ]  also von -2 bis 1 (soweit alles klar und stimmt auch mit dem Buch überein)

Wie berechne ich aber nun den Flächeninhalt handschriftlich, ohne GTR? Wie muss ich die -2 und die 1 einsetzten und dann, was von wem abziehen?

Ich komme auf kein richtiges Ergebnis. Das Ergebnis muss 4,5 LE lauten.

______________________________
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integralberechnung: Korrekturen + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Fr 25.03.2005
Autor: Loddar

Hallo dark-sea!


> Hallo! Ich leide momentan (glaub ich) unter 'black outs'
> wegen dem bevorstehenden Abi in 1 1/2 Wochen. Locker bleiben! das wird schon ...



> Ich möchte den Integral berechnen. Nur fehlt mir der letzte
> Schritt, um die Lösung ohne GTR berechnen zu können.
>  
> f(X)=-X+2;  g(X)=X²
> X1=1;  X2=-2
>  
> A= [mm]\integral_{-2}^{1}[/mm] {(X²-X+2) dx}
>    = [ 1/3 *  [mm]x^{3}[/mm]  -   1/2 * X² + 2X ]  also von -2 bis 1
> (soweit alles klar und stimmt auch mit dem Buch überein)
>  
> Wie berechne ich aber nun den Flächeninhalt
> handschriftlich, ohne GTR? Wie muss ich die -2 und die 1
> einsetzten und dann, was von wem abziehen?

Du möchtest also den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ berechnen?


Die allgemeine Formel hierfür lautet:

$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|$ [/mm]


Für Deine Aufgabe heißt das:

$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|$ [/mm]

$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 - \red{(}-x+2\red{)} \ dx} \ \right|$ [/mm]

$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 \red{+}x \red{-}2 \ dx} \ \right|$ [/mm]


Nun also die Stammfunktion bilden. Die hast Du ja auch (fast) richtig ermittelt (nun aber mit den richtigen Vorzeichen!):

$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 + x - 2 \ dx} \ \right|$ [/mm]

$A \ = \ [mm] \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|$ [/mm]


Grundsätzlich rechnet man "obere Grenze" - "untere Grenze".

In die Stammfunktion (also den Term zwischen den beiden großen eckigen Klammern) setzt Du zunächst die obere Grenze [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 1$ ein und anschließend die untere Grenze [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -2$ :

$A \ = \ [mm] \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|$ [/mm]

$A \ = \ [mm] \left| \ \left[\bruch{1}{3}*1^3 + \bruch{1}{2}*1^2 - 2*1\right] - \left[\bruch{1}{3}*(-2)^3 + \bruch{1}{2}*(-2)^2 - 2*(-2) \right] \ \right|$ [/mm]

Wenn Du diesen Ausdruck nun ausrechnest, sollte Dein gewünschtes Ergebnis von $A \ = \ 4,5 \ [mm] \red{F.E.}$ [/mm] (nicht LE !) herauskommen!


Ich hoffe, ich konnte Dir etwas weiterhelfen, sonst einfach nochmal fragen ...

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Integralberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Fr 25.03.2005
Autor: dark-sea


> Hallo dark-sea!
>  
>
> > Hallo! Ich leide momentan (glaub ich) unter 'black outs'
> > wegen dem bevorstehenden Abi in 1 1/2 Wochen. Locker
> bleiben! das wird schon ...
>  
>
>
> > Ich möchte den Integral berechnen. Nur fehlt mir der letzte
> > Schritt, um die Lösung ohne GTR berechnen zu können.
>  >  
> > f(X)=-X+2;  g(X)=X²
>  > X1=1;  X2=-2

>  >  
> > A= [mm]\integral_{-2}^{1}[/mm] {(X²-X+2) dx}
>  >    = [ 1/3 *  [mm]x^{3}[/mm]  -   1/2 * X² + 2X ]  also von -2
> bis 1
> > (soweit alles klar und stimmt auch mit dem Buch überein)
>  >  
> > Wie berechne ich aber nun den Flächeninhalt
> > handschriftlich, ohne GTR? Wie muss ich die -2 und die 1
> > einsetzten und dann, was von wem abziehen?
>  
> Du möchtest also den Flächeninhalt zwischen den beiden
> Funktionen [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] berechnen?
>  
>
> Die allgemeine Formel hierfür lautet:
>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|[/mm]
>  
>
> Für Deine Aufgabe heißt das:
>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|[/mm]
>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 - \red{(}-x+2\red{)} \ dx} \ \right|[/mm]



Wieso rechnest du hier g(X)-f(X), wenn doch f(X) die obere Kurve ist? Dann müsste es doch so heißen:  [mm] \integral_{-2}^{1} [/mm] {-X+2-X² dx}
-->  [mm] \integral_{-2}^{1} [/mm] {-X²-X+2 dx} ?

Antwort von mir selber:
Es kommt aber trotzdem das selbe raus, nur bei dir wäre das Ergebnis negativ, was aber egal ist, weil ein FE ja schließlich nicht negativ sein kann. Stimmt das so?


>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 \red{+}x \red{-}2 \ dx} \ \right|[/mm]
>  
>
> Nun also die Stammfunktion bilden. Die hast Du ja auch
> (fast) richtig ermittelt (nun aber mit den richtigen
> Vorzeichen!):
>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 + x - 2 \ dx} \ \right|[/mm]
>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|[/mm]
>  
>
> Grundsätzlich rechnet man "obere Grenze" - "untere
> Grenze".
>  
> In die Stammfunktion (also den Term zwischen den beiden
> großen eckigen Klammern) setzt Du zunächst die obere Grenze
> [mm]x_2 \ = \ 1[/mm] ein und anschließend die untere Grenze [mm]x_1 \ = \ -2[/mm]
> :
>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|[/mm]
>  
> [mm]A \ = \ \left| \ \left[\bruch{1}{3}*1^3 + \bruch{1}{2}*1^2 - 2*1\right] - \left[\bruch{1}{3}*(-2)^3 + \bruch{1}{2}*(-2)^2 - 2*(-2) \right] \ \right|[/mm]
>  
> Wenn Du diesen Ausdruck nun ausrechnest, sollte Dein
> gewünschtes Ergebnis von [mm]A \ = \ 4,5 \ \red{F.E.}[/mm] (nicht LE
> !) herauskommen!
>  
>
> Ich hoffe, ich konnte Dir etwas weiterhelfen, sonst einfach
> nochmal fragen ...
>  
> Gruß
>  Loddar
>  


Vielen lieben Dank


Bezug
                        
Bezug
Integralberechnung: "orientierte Flächen"
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Fr 25.03.2005
Autor: Loddar

Hallo dark-sea!


> Wieso rechnest du hier g(X)-f(X), wenn doch f(X) die obere
> Kurve ist? Dann müsste es doch so heißen:  
> [mm]\integral_{-2}^{1}[/mm] {-X+2-X² dx}
>  -->  [mm]\integral_{-2}^{1}[/mm] {-X²-X+2 dx} ?
>  
> Antwort von mir selber:
> Es kommt aber trotzdem das selbe raus, nur bei dir wäre
> das Ergebnis negativ, was aber egal ist, weil ein FE ja
> schließlich nicht negativ sein kann. Stimmt das so?

[daumenhoch]

Prinzipiell ist es völlig egal, welche Funktion ich von der anderen abziehe. Der Unterschied liegt lediglich im Vorzeichen (wie Du völlig richtig bemerkt hast).

Wenn am Ende eine negative Zahl herauskommt, kann man daraus erkennen, welche Funktion über der anderen liegt.

Man redet hier auch von orientierten Flächen. Vergleichbar mit der üblichen Flächenberechnung per Integration, wo man am Vorzeichen erkennen kann, ob die betrachtete Fläche ober- oder unterhalb der x-Achse liegt.


Aus diesem Grund sollte man bei der reinen Flächenberechnung auch jeweils Betragsstriche anordnen (die ich in meiner Antwort die ganze Zeit "mitgeschleppt" habe).


Gruß
Loddar


PS: Außerdem hast Du bei Deiner Aufgabe in dieser Reihenfolge $g(x) - f(x)$ gerechnet ;-) ...


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