Integralberechnung mit PR < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Di 07.03.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Die nachfolgenden bestimmten Integrale sind nicht in geschlossener Form lösbar. Berechnen Sie jeweils einen Näherungswert, indem Sie den Integranden bis zum 4. Glied in eine Potenzreihe entwickeln und anschließend gliedweise integrieren. Schätzen Sie mit Hilfe des Restgliedes den Fehler ab.
a)
[mm] \integral_{0}^{1}{e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
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Hallo.
Hab leider keinen Ansatz, da ich nicht genau weis wie ich die Funktion in eine Potenzreihe umwandel
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}(X+Xo)^{n} [/mm] = [mm] e^{X+Xo}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Mich irritiert auch, das ich ein Restglied abschätzen soll.
Das geht doch nur bei Taylor-Reihen. Oder kann ich das auch bei Potenzreihen machen(also Rest ist dann einfach das n+1'te Glied)?
Für Tipps wär ich dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Di 07.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Die nachfolgenden bestimmten Integrale sind nicht in
> geschlossener Form lösbar. Berechnen Sie jeweils einen
> Näherungswert, indem Sie den Integranden bis zum 4. Glied
> in eine Potenzreihe entwickeln und anschließend gliedweise
> integrieren. Schätzen Sie mit Hilfe des Restgliedes den
> Fehler ab.
>
> a)
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
>
> Hallo.
>
> Hab leider keinen Ansatz, da ich nicht genau weis wie ich
> die Funktion in eine Potenzreihe umwandel
Das geht meistens je nach Kontext mit gewissen Tricks einfacher als mit anderen. Wenn ne Funktion wie [mm] $\sin$, $\cos$ [/mm] oder [mm] $\exp$ [/mm] aussen steht, reicht es meistens die Potenzreihenentwicklung derer zu nehmen (etwa [mm] $e^x [/mm] = [mm] \exp(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$) [/mm] und den Parameter einzusetzen.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}(X+Xo)^{n}[/mm] = [mm]e^{X+Xo}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja. Wobei du dich fuer den Fall $X + Xo = [mm] -x^2$ [/mm] interessierst, also [mm] $e^{-x^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2 n}}{n!}$.
[/mm]
> Mich irritiert auch, das ich ein Restglied abschätzen
> soll.
> Das geht doch nur bei Taylor-Reihen. Oder kann ich das
> auch bei Potenzreihen machen
(Hier mal vorausgesetzt, das alle Reihen um 0 entwickelt werden. Was hier auch am meisten Sinn macht da es am einfachsten ist.)
Funktionen, die sich als Potenzreihe entwickeln lassen, lassen sich auch als Taylorreihe entwickeln und somit gibt es ein Restglied (die Potenzreihenentwicklung ist ja grad die Taylorreihenentwicklung).
> (also Rest ist dann einfach das n+1'te Glied)?
Ganz so einfach geht es nicht. Du musts beim $n+1$-ten Glied $x$ durch [mm] $\theta$ [/mm] ersetzen, wobei $0 < [mm] \theta [/mm] < x$ ist. Hier (du bist an Werten $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ interessiert) musst du also eine Abschaetzung fuer das $(n+1)$-te Glied finden fuer $0 [mm] \le \theta [/mm] < 1$; das ist dann die Abschaetzung fuer das Restglied.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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