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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 14.02.2006 | | Autor: | kuminitu |
| Aufgabe | Sei f : [1,1) [mm] \to \IR [/mm] eine stetige, positive Funktion, für die das Integral
[mm] \integral_{1}^{ \infty}{f(x) dx}
[/mm]
existiert. Folgt daraus zwangsläufig [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0 ?
Antwort: Nein!
Beweisen Sie dies, indem Sie z.B. in folgenden Schritten vorgehen:
1. Definieren Sie eine stetige(!) Funktion g : [1,1) [mm] \to \IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften
g(n) = 1 für alle n [mm] \in \IN, \ge [/mm] 2,
g(x) = 0 falls x [mm] \not\in \bigcup_{i=2}^{ \infty} [/mm] [n- [mm] \bruch{1}{n^{2}},n+ \bruch{1}{n^{2}}],
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{ \infty}{g(x) dx} [/mm] existiert.
(Als Definition genügt eine deutliche Skizze.)
2. Definieren Sie eine stetige, positive Funktion f, indem Sie zu g eine geeignete Funktion addieren,
und zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{1}^{ \infty}{f(x) dx} [/mm] existiert
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] 0 |
Hallo,
habe die Skizze aus Aufgabe 1) meiner Meinung nach auch richtig gezeichnet,
bin jetzt aber leider mit Aufgabe 2 überfordert!
Weiss leider nicht wie die geeignete Funktion aussehen soll!
Kann mir jemand helfen.
gruß
kuminitu
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Es muß wohl des öfteren [mm][1,\infty)[/mm] statt [mm][1,1)[/mm] heißen.
Man könnte doch [mm]f(x) = \frac{1}{x^2} + g(x)[/mm] wählen.
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