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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Di 03.07.2007 | | Autor: | Sir_E |
| Aufgabe | Berechnen Sie für jedes n [mm] \in \IN [/mm] das Integral
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(nt-sin(t))*e^{cos(t)} dt} [/mm] |
Hallo Leute,
also ehrlich gesagt habe ich nicht so den ganz großen Plan wie das funktionieren soll abgesehen davon, dass man Methoden aus der komplexen Analysis verwenden muss. Man weiß, dass die Funktion holomorph (auf ganz [mm] \IC) [/mm] ist.
Könnte man theoretisch dann den Weg von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] so ergänzen, dass er zu einem Halbkreis um [mm] \pi [/mm] wird mit Radius [mm] \pi. [/mm] Dieser geschlossene Weg wäre ja dann 0 und somit wäre das Integral aus der Aufgabe gleich dem negativen Bogenintegral über der Halbkreislinie. Allerdings habe ich so auch nichts sinnvolles herausbekommen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 03.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Stimmen die Klammern im Integranden???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 03.07.2007 | | Autor: | Sir_E |
Ich habe noch mal nachgesehen, eigentlich stimmen die Klammern. Jetzt kann natürlich immer noch eine Druckfehler bei der Aufgabe vorliegen. Da die Aufgabe aber von einem Übungsblatt ist, das schon ein paar Jährchen zurückliegt, kann ich das nicht klären.
Ich wäre allerdings auch schon dankbar wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte für eine einfachere Klammerung, etwa
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{(cos(nt)-sin(t))*e^{cost} dt}
[/mm]
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Do 05.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Berechnen Sie für jedes n [mm]\in \IN[/mm] das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(nt-sin(t))*e^{cos(t)} dt}[/mm]
Wie wäre es, den Cosinus durch Exponentialfunktionen zu ersetzen, also [mm] cos(nt-sin(t)) = \bruch{1}{2}\left(e^{+i(nt-\sin t)} + e^{-i(nt-\sin t)}\right)[/mm] ?
Der Einfachheit halber nehme ich mal nur den ersten der beiden Terme:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}e^{+i(nt-\sin t)} * e^{\cos(t)} dt = \integral_{0}^{2\pi} e^{int+\cos t - i\sin t} dt = \integral_{0}^{2\pi} e^{int+e^{-it} dt[/mm]
Mit der Substitution [mm]z=e^{-it}[/mm] ergibt sich [mm]\integral_E z^{-n}*e^{z} \bruch{i}{z} dz [/mm], mit dem Einheitskreis [mm]E[/mm] im Uhrzeigersinn als Integrationsweg. Das sollte sich mit dem Residuensatz ausrechnen lassen.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Do 05.07.2007 | | Autor: | Sir_E |
Jupp danke, ich werds mal so versuchen, das klappt dann bestimmt.
gruß
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