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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 21.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] f\in\mathcal{L}^1(\Omega, \mathcal{A}, \mu).
[/mm]
Zeigen Sie:
Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass
[mm] \mu(A)<\delta\Rightarrow\integral_{A}^{}{|f|d\mu}<\epsilon [/mm] mit [mm] (A\in\mathcal{A}). [/mm] |
Die Aufgabe ist vermutlich gar nicht schwierig, aber ich finde hier leider nicht einmal den passenden Ansatz. Falls mir dabei jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.
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> Sei [mm](\Omega, \mathcal{A}, \mu)[/mm] ein Maßraum und
> [mm]f\in\mathcal{L}^1(\Omega, \mathcal{A}, \mu).[/mm]
> Zeigen Sie:
> Zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]\delta>0,[/mm] so dass
> [mm]\mu(A)<\delta\Rightarrow\integral_{A}^{}{|f|d\mu}<\epsilon[/mm]
> mit [mm](A\in\mathcal{A}).[/mm]
> Die Aufgabe ist vermutlich gar nicht schwierig, aber ich
> finde hier leider nicht einmal den passenden Ansatz. Falls
> mir dabei jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte,
> wäre ich sehr dankbar.
Sei [mm] $1_A$ [/mm] die charakteristische Funktion von $A$. Ich nehme der Einfachheit halber an, dass das Mass positiv (nicht-negativ) ist.
Würde die Behauptung nicht gelten, so gäbe es eine Folge von messbaren Mengen [mm] $A_n$, [/mm] mit [mm] $\mu(A_n)\rightarrow [/mm] 0$, für die die zugehörigen Integrale [mm] $\int_{A_n} |f|\;d\mu=\int_{\Omega} 1_{A_n}\cdot|f|\; d\mu$ [/mm] nicht gegen $0$ konvergieren würden, was aber zur Vertauschbarkeit von [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}$ [/mm] und Integral, sowie [mm] $1_{A_n}\cdot |f|\rightarrow [/mm] 0$ (fast überall) im Widerspruch steht. (Die Frage ist natürlich, welche Sätze über das Integral Du voraussetzen darfst...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Do 22.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Vielen Dank erst einmal für die Antwort!
Nicht, dass ich mich beschweren will  : habe gar nicht die Lösung erwartet, sondern nur einen Ansatz, schließlich ist das hier keine Lösungsgeneriermaschine und ich sollte das spätestens in der Klausur auch können. Da sollte ich so was schon mal durchdenken.
Leider kann ich deine Lösung noch nicht nachvollziehen. Falls du Zeit haben solltest, könntest du diese bitte noch weiter ausführen?
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> Vielen Dank erst einmal für die Antwort!
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> Nicht, dass ich mich beschweren will : habe gar nicht
> die Lösung erwartet, sondern nur einen Ansatz, schließlich
> ist das hier keine Lösungsgeneriermaschine und ich sollte
> das spätestens in der Klausur auch können. Da sollte ich so
> was schon mal durchdenken.
>
> Leider kann ich deine Lösung noch nicht nachvollziehen.
> Falls du Zeit haben solltest, könntest du diese bitte noch
> weiter ausführen?
Vielleicht, aber erst, wenn Du mir einen hinreichend klaren Einblick in Deinen Vorlesungsskript ermöglicht hast. Es macht ja keinen Sinn, hier ausgedehnt Integrationstheorie zu referieren, die Du zum Beweis verwenden darfst. Beispiel: Was weisst Du aus der Vorlesung bereits über Vertauschbarkeit von Integral und [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}$?
[/mm]
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> Hmm, habe das Skript nicht zur Hand, aber zum Glück habe
> ich ein recht gutes Namensgedächtnis, da kann man ja bei
> Google gucken.
>
> Also, da haben wir auf jeden Fall den Satz von Beppo Levi
> (![[]](/images/popup.gif) Satz von der monotonen Konvergenz):
>
> [mm]\integral_{\Omega}^{}{f d\mu}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\Omega}^{}{f_{n} d\mu}[/mm]
>
> Aber bei dem geht es nicht um Vertauschung, sondern um
> Folgen und deren Grenzwert.
Aber sehr wohl geht es hier um Vertauschung von [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}$ [/mm] und Integral. Denn es soll ja [mm] $f=\lim_{n\rightarrow \infty} f_n$ [/mm] (fast überall) sein. Das heisst, was Du hier geschrieben hast, kann man genauso gut in dieser Form schreiben: [mm] $\integral_{\Omega}^{}{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n d\mu}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\Omega}^{}{f_{n} d\mu}$
[/mm]
Dass hier eine Vertauschung von [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}$ [/mm] und [mm] $\int$ [/mm] vorliegt, sieht doch ein Blinder.
>
> Und dann hatten wir auf jeden Fall das
> Lemma von Fatou
> und noch einen Satz von Lebesgue, ich glaube es war der
> Satz von der majorisierten Konvergenz.
Ja, super, das ist genau der Satz, den ich gemeint hatte. Dann sollte meine Beweisskizze für Deine Zwecke genügen. Denn die zeigt, dass man aus der Annahme, die Behauptung würde nicht gelten, eine Folge [mm] $f_n\rightarrow [/mm] 0$ (fast überall) konstruieren könnte, deren Integrale (im Widerspruch zum Satz von der majorisierten Konvergenz) nicht gegen das Integral der Grenzfunktion, eben der $0$-Funktion, konvergieren.
> Jetzt habe ich mich selbst verwirrt, glaube ich. Die
> behandeln Funktionen [mm]f:\Omega\to\IR\cup\{\infty\},[/mm] aber die
> Aufgabe fordert [mm]g:\Omega\to\IR.[/mm] Klar, es gilt
> [mm]\{g\}\subset\{f\}.[/mm] Aber Teilmengen erben ja nicht
> automatisch alle Eigenschaften der Obermenge. Kann man die
> Sätze dann hier überhaupt gebrauchen?
Aber ja doch. Eine integrierbare Funktion darf ohnehin nur auf einer Nullmenge den Wert [mm] $\infty$ [/mm] annehmen: und was eine Funktion auf einer Nullmenge so macht ist dem Integral (und damit der Integrationstheorie) eh gänzlich Wurst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Do 22.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Vielen Dank für die Unterstützung! Das sollte mir genügen, um durchzublicken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Do 22.11.2007 | | Autor: | Somebody |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Vielen Dank für die Unterstützung! Das sollte mir genügen,
> um durchzublicken.
Hm, nachträglich fällt mir auf, dass ich die Behauptung, dass $1_{A_n}\cdot |f|\rightarrow 0$ fast überall gilt, etwas zu simpel formuliert habe. Aber man kann, aus der Annahme, dass die zu beweisende Behauptung nicht gilt, jedenfalls ein festes $\varepsilon >0$ und für jedes $n\in \IN$ ein $A_n$ finden, so dass $\mu(A_n)<\frac{1}{2^n}$ aber $\int_A |f|\; d\mu \geq \varepsilon$.
Daraus folgt, dass, wegen $\{\lim_{n\rightarrow \infty}1_{A_n}\cdot |f|\; \neq 0\}\subseteq \bigcup_{n=n_0}^\infty A_n$ für alle $n_0\in\IN$,
$0\leq \mu(\{\lim_{n\rightarrow \infty}1_{A_n}\cdot |f|\; \neq 0\})\leq \sum_{n=n_0}^\infty \mu(A_n)< \sum_{n=n_0}^\infty\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{2^{n_0-1}}$
gilt. Also ist in der Tat $\mu(\{\lim_{n\rightarrow \infty}1_{A_n}\cdot |f|\; \neq 0\})\leq\lim_{n_0\rightarrow \infty}\frac{1}{2^{n_0-1}}=0$, also $1_{A_n}\cdot |f|\rightarrow 0$ fast überall.
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