Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
mir machen Integrale sehr zu schaffen und ich kann leider den Grund dafür nicht wirklich feststellen, also möchte ich mit eurer Hilfe meinen Wissensstand darüber erweitern. Am besten in klarem deutsch - pwer Wort und nur wenn nötig eine mathematische Aussage.
Also ein Integral bezeichnet man im 2-D (auch 3-d?) als Fläche unter einer Funktion f(x) in den Grenzen x1 x2.
[mm] \integral_{x1}^{x2}{f(x) dx}
[/mm]
dx bedeutet, dass wir diese Fläche in infinitesimal kleine flächen (d)*x aufteilen wodurch auch unser Fehler bei dieser Flächenberechnung bei 0 liegt. Das rührt ja aus der Herleitung des Integrals von Obergrenze - untergrenze.
So ein Rechteck "dx" hat die Fläche x*y wobei unser x in diesem fall hier sehr klein ist.
Angenommen wir haben jetzt unsere Stammfunktion. Was sagt mir die überhaupt?
sagen wir unsere Funktion sei [mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^{2}
[/mm]
Das zugehörige Integral wäre dann natürlich:
(Fläche A zwischen x1 und x2) A= [mm] \integral_{x1}^{x2}{\bruch{1}{3}x^{2} dx} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + c (in den Grenzen x1/x2)
Ich habe jetzt irgendwo gelesen, dass wenn wir jetzt in F(x) z.B. den Wert 4 reinwerfen wir genau die Fläche bekommen, die f(x) von 0 bis 4 unter dem Graphen hat. (Vorausgesetzt es hat keine negativen Flächen (nullpunkte) )
Warum ist das so? Wieso funktioniert das?
Beim differenzieren kann ich mir ja wenigstens noch erklären, wieso gerade f'(x) die steigung von f(x) ist. Aber auch hier weiß ich nicht wirklich was das zu bedeuten hat. Es muss doch eine bessere Aussage dazu geben als, dass ich an dem Punkt eine tangente mit der Steigung f'(x) dranmachen kann.
Wie verhält sich das ganze, wenn meine Achsen dimensionsbehaftet sind.
Nehmen wir einfach mal die geschwindigkeit mit v= [mm] \bruch{s}{t}
[/mm]
=> [mm] \integral_{0}^{t1}{ \bruch{s}{t} dt}
[/mm]
Wieso gibt mir das gerade die Strecke? Wie kommt man darauf?
Vielen dank für die hilfe
|
|
| |
|
Hallo!
Eine sehr interessante Frage...
> Also ein Integral bezeichnet man im 2-D (auch 3-d?) als
> Fläche unter einer Funktion f(x) in den Grenzen x1 x2.
>
>
> [mm]\integral_{x1}^{x2}{f(x) dx}[/mm]
>
> dx bedeutet, dass wir diese Fläche in infinitesimal kleine
> flächen (d)*x aufteilen wodurch auch unser Fehler bei
> dieser Flächenberechnung bei 0 liegt. Das rührt ja aus
> der Herleitung des Integrals von Obergrenze - untergrenze.
>
> So ein Rechteck "dx" hat die Fläche x*y wobei unser x in
> diesem fall hier sehr klein ist.
hmmm, also, dx ist die Breide des Rechtecks, das du meinst. Demnach ist die Fläche y*dy=f(x)*dx
Du mußt nun die Summe der Flächen bilden, also
[mm] $\sum_{a
Jetzt läßt man dx immer kleiner werden, dafür gibt es immer mehr Summanden. Aus dem [mm] \Sigma [/mm] für Summe wird nun ein stilisiertes S:
[mm] $\int_{a
oder besser
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x)*dx$
>
> Angenommen wir haben jetzt unsere Stammfunktion. Was sagt
> mir die überhaupt?
>
> sagen wir unsere Funktion sei [mm]f(x)=\bruch{1}{3}x^{2}[/mm]
>
> Das zugehörige Integral wäre dann natürlich:
> (Fläche A zwischen x1 und x2) A=
> [mm]\integral_{x1}^{x2}{\bruch{1}{3}x^{2} dx}[/mm] = [mm]x^{3}[/mm] + c (in
> den Grenzen x1/x2)
Naja, die Stammfunktion ist so eine Art vorgefertigte Formel für die Grenzwertbildung. Genauso wie die Ableitung diesn Grenzwert Sekante -> Tangente einfach so bildet.
Naja, witzigerweise gibt es dann noch so Regeln, nach denen sich diese vorgefertigen Grenzwertfunktionen auch noch kombinieren lassen, sodaß du kaumnoch Grenzwerte betrachten mußt.
>
> Ich habe jetzt irgendwo gelesen, dass wenn wir jetzt in
> F(x) z.B. den Wert 4 reinwerfen wir genau die Fläche
> bekommen, die f(x) von 0 bis 4 unter dem Graphen hat.
> (Vorausgesetzt es hat keine negativen Flächen (nullpunkte)
> )
Das ist so falsch. Nehmen wir die Definition: [mm] \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a) [/mm] Du siehst,wenn wie bei dir a=0 sein soll, dann muß F(a) auch =0 sein, denn nur dann hast du [mm] \int_0^4f(x)\,dx=F(4)
[/mm]
>
> Warum ist das so? Wieso funktioniert das?
>
> Beim differenzieren kann ich mir ja wenigstens noch
> erklären, wieso gerade f'(x) die steigung von f(x) ist.
> Aber auch hier weiß ich nicht wirklich was das zu bedeuten
> hat. Es muss doch eine bessere Aussage dazu geben als, dass
> ich an dem Punkt eine tangente mit der Steigung f'(x)
> dranmachen kann.
>
> Wie verhält sich das ganze, wenn meine Achsen
> dimensionsbehaftet sind.
>
> Nehmen wir einfach mal die geschwindigkeit mit v=
> [mm]\bruch{s}{t}[/mm]
>
> => [mm]\integral_{0}^{t1}{ \bruch{s}{t} dt}[/mm]
Wie oben bereits erwähnt, ist dt die Breite dieses Rechtecks. Hier wird also tatsächlich eine Geschwindigkeit [mm] v=\frac{s}{t} [/mm] mit einer Zeit dt multipliziert, das geschieht auch mit den Einheiten. (Beim Ableiten übrigens auch!)
>
> Wieso gibt mir das gerade die Strecke? Wie kommt man
> darauf?
>
> Vielen dank für die hilfe
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Habt ihr in der Schule nicht gezeigt, dass die Ableitung der Funktion
[mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] f(x) ist.
zuerst führt man das integral, wie du gesagt hast als Grenzwert der Summe über sogenannte Treppenfunktionen ein. die Funktion F(x) die oben steht, gibt dann die Fläche (mit Vorzeichen) unter dem Graphen von f(t) bzw f(x) an zwischen a und x. das ist also wieder ne Funktion
Als nächsten Schritt zeigt man dann im normalen Unterricht, dass diese Funktion die Ableitung F'(x)=f(x) hat, und wenn man das gezeigt hat, kann man unter ganz vielen Funktionen die Flächen leicht ausrechnen.
Aber ohne dass man das gezeigt hat, hast du natürlich recht, und es wirkt wie Zauberei.
Wenn du also willst, und ihr das nicht gemacht habt, dann zeig ich dir das gern. Es ist eine so wichtige Tatsache, dass es den Namen "Hauptsatz der differential und Integralrechnung " trägt.
Wenn dus gezeigt haben willst, musst du sagen, wie ihr die Ableitung definiert habt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Vielen dank schonmal, also wenn ich mich recht entsinne ( und das liegt schon ein stück zurück )
Haben wir es über die Sekante schrittweise zur tangente gezeigt.
Dabei haben wir die schreibweise d/dx vermieden (deshalb kann ich auch nicht viel damit anfangen obgleich ich mir sicher bin, dass es wichtig ist)
d/dx wurde nur kurz erwähnt als "andere schreibweise" für f'(x), was ja auch richtig ist aber dx hat schon einen nutzen allein wenn man an substitution denkt. Was mir auch schwer fällt beim ab- sowie aufleiten.
Also unsere Ableitung wurde wie gesagt über zwei punkte und ihre steigung gemacht. Diese zwei punkte haben wir immer enger gemacht bis es auf einmal ein punkt war und wir "die steigung in dem punkt" hatten.
Das problem an der sache ist, dass der lehrer nicht erklärt hat, wie man sich eine steigung in einem punkt überhaupt vorstellen soll und insgesamt bröckelt das ganze wissen sehr stark.
Ich wäre froh, wenn du mir das wortreich erklären könntest. Was da passiert. Ich kann zwar jede menge sachen ableiten, aber was nutzt mir das, wenn ich nicht auch verstehe was da passiert und eben das möchte ich ändern.
Vielen dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schön, wenn mans genau wissen will und nicht nur "umformeln"
1. Eine Steigung in einem Punkt gibt es nicht eigentlich, denn Steigung ist ja das Verhältnis eines Stücks [mm] \Delta [/mm] y nach oben zu einem Stück [mm] \Delta [/mm] x nach rechts.
das Problem ist dasselbe mit Geschwindigkeit=Weg/Zeit. Was ist die Geschwindigkeit in einem Moment? also einem Zeitpunkt? Wenn man aber einen Stein fallen lässt und er immer schneller wird, würde man doch gerne sagen zum Zeitpunkt 1s hat er die Geschwindigkeit...
messen kann man aber höchstens den Weg zwischen 0.9 s und 1.1 s, oder wenn mans genauer haben will zwischen 0.99s und 1.01 s. usw.
Das hat Newton, den Erfinder der Differentialrechnung dazu gebracht, zu sagen: Wenn sich alle Durchschnittsgeschwindigkeiten immer mehr einem Wert nähern, wenn ich die Zeitintervalle immer kleiner mache, dann nenne ich den Wert der dabei rauskommt Grenzwert der Durchschnittsgeschw. oder Momentanwert der Geschwindigkeit.
Man muss genau hinhören, es IST nicht die Momentangeschwindigkeit, sondern ich nenne es die Momentangeschw, bzw ich definiere es als Momentangeschw.
Genauso die "momentane" Steigung einer Kurve.
wenn ich wissen will, wie stark der Graph von [mm] f(x)=x^2 [/mm] zwischen 2 Punkten ansteigt, dann nehm ich ne Sehne und bestimme ihre Steigung m. Die ist dann zwischen den Punkten
[mm] (x1,x1^2) [/mm] und [mm] (x^2,x2^2) m=\bruch{x2^2-x^1^2}{x2-x^1} [/mm] wenn ich den punkt x2 ganz nahe an x1 lege, dann weiss ich wie stark die Kurve in der Gegend von x1 ungefähr steigt.
wenn ich jetzt immer näher ran gehe, wird das immer besser.
und jetzt - nach Newton- DEFINIERE ich die Steigung im Punkt x1 als den Wert, den ich rauskriege wenn ich mit x2 beliebig nache an x1 rangehe. wenn da immer die gleiche Zahl rauskommt, egal ob x2 links oder rechts von x1 liegt, findet man es vernünftig, diese Zahl ann Steigung der kurve IN dem Punkt [mm] x1,x1^2 [/mm] zu nennen.
Die Gerade durch den Punkt mit dieser Steigung nennt man dann Tangente.
zurück zum Beispiel:
[mm] m=\bruch{x2^2-x^1^2}{x2-x^1}\bruch{(x2+x1)*(x2-x1)}{x2-x^1}
[/mm]
für alle Zahlen x1,x2 kann ich kürzen, egal wie klein ihre Differenz ist. (nur nicht mehr bei x1=x2, denn da würde man ja durch 0 teilen.
also für alle, Zahlen, auch wenn sie sich nur un 0.0000000001 von x1 unterscheiden, steht dann da
[mm] m=\bruch{x2^2-x^1^2}{x2-x^1}\bruch{(x2+x1)*(x2-x1)}{x2-x^1}=(x2+x1) [/mm] also etwa für x1=2 x2=2,000000000001 m=4.000000000001
und dann sagt man die zahl geht immer mehr auf 4 zu, [mm] x^2 [/mm] hat an der stelle (2,4) die Steigung m=4
wenn ich nicht bei 2 sondern bei ner allgemeinen Zahl x suche, dann hab ich:x+(x+winzig)=2x+winzig egal ob winzig pos. oder neg ist, ich kannstatt winzig winzigwinzig nehmen oder [mm] 10^{-1000000} [/mm] ich komm immer mehr zu 2x
deshalb sag ich jetzt laut meiner definition von Steigung in einem Punkt (die ja vernünftig ist) die Steigung des Graphen von [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist an jeder Stelle x 2x. statt m schreib ich f'(x)
in Erinnerung an [mm] /bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] schreibt man auch [mm] f'(x)=\bruch{df}{dx} [/mm] oder mit y=f(x) [mm] y'=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
So, jetz sag erst mal, ob du alles kapiert hast, dann mach ich mit Integralen und deren Ableitung weiter.
Aber bitte nimm dir was Zeit, das wären in der Schule mindestens 2 Unterrichtsstunden, also lies es vielleicht auch 2 mal
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Vielen dank schonmal.
Das Wissen ist angekommen - so habe ich es in der Schule kennengelernt.
Ich bin bereit für die Integrale!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:44 Do 19.11.2009 | | Autor: | ImminentMatt |
(damit es für dich wieder aktiv wird)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Do 19.11.2009 | | Autor: | Tyskie84 |
> (damit es für dich wieder aktiv wird) ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
|
|
|
| |
|
lass die frage bitte offen - vielen dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Do 19.11.2009 | | Autor: | Tyskie84 |
> lass die frage bitte offen - vielen dank.
gerne aber was willst du uns damit sagen?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Do 19.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo ImminentMatt,
> (damit es für dich wieder aktiv wird)
das gleiche wie Tyskie wollte ich auch gerade fragen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Warum soll das hier wieder aktiviert werden?
LG
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:54 Do 19.11.2009 | | Autor: | ImminentMatt |
Das ist aktiviert, weil leduart mir noch die Sache über integrale näher bringen will.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Do 19.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Das ist aktiviert, weil leduart mir noch die Sache über
> integrale näher bringen will.
mmh - ich stell' dann mal die andere Frage auf halb-beantwortet - wenn Leduart das gesagt hat, dann wird es auch so sein 
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich bin erst jetzt wieder auf deine Frage gestossen. Also los.
1. es muss klar sein, dass
[mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] eine Funktion ist, die von der oberen Grenze des Integrals abhängt. Du kannst die dir als dit "Fächeninhaltsfkt" der fläche zwischen t=a und t=x der fkt f(t)vorstellen.
jetzt ist über das Integral noch zu wissen:
mit a<b<c gilt
[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} =\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x) dx}
[/mm]
Aus der Darstellung durch Summen bzw als Fläche ist das hoffentlich klar.
jetzt will ich F' berechnen: an der Stelle [mm] x_0
[/mm]
dazu erstmal die Sehnensteigung : statt [mm] x_0 [/mm] und x1 nehm ich [mm] x_0 [/mm] und x1= [mm] x_0+h
[/mm]
[mm] \bruch{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\bruch{\integral_{a}^{x_0+h}{f(t) dt}-\integral_{a}^{x_0}{f(t) dt}}{h}
[/mm]
jetzt erst mal nur der Zähler:
[mm] F(x_0+h)=\integral_{a}^{x_0+h}{f(t) dt}=\integral_{a}^{x_0}{f(t) dt}+\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(t) dt}
[/mm]
Damit ist [mm] F(x_0+h)-F(x_0)=\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(t) dt}
[/mm]
Und nun müssen wir uns an die Definition des Integral erinnern, vielleicht malst du dir auch ein Stück Funktion zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h [/mm] mal auf.
Dann gilt: die Fläche dazwischen, kann ich durch ein Rechteck ersetzen, eine Seite h, die andere ein Wert der Funktion f(t) für irgendeinen Punkt t1 mit [mm] x_0
(den Punkt muss man nicht genau finden, es muss nur klar sein, dass es ihn irgendwo dazwischen gibt.)
dann ist [mm] \integral_{x_0}^{x_0+h}{f(t) dt}=h*f(t1)
[/mm]
jetz zurück zur Sehnensteigung:
[mm] \bruch{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\bruch{h*f(t1)}{h}
[/mm]
für alle h ungleich 0 kann ich kürzen.
also
[mm] \bruch{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(t1)
[/mm]
dabei immer dran denken dass t1 eine unbekannte Stelle ist, aber garantiert zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h
[/mm]
Wenn h also beliebig klein wird, wird, falls f ne stetige (also brave) Funktion ist, die keine "Sprünge" macht f(t1) immer mehr zu [mm] f(x_0) [/mm] bei "beliebig" kleinem h hab ich dann [mm] f(t1)=f(x_0)
[/mm]
und gezeigt, dass für stetige Funktionen f die Ableitung von F(x) an der Stelle [mm] $x_0$ $f(x_0)$ [/mm] ist.
das gilt für alle Stellen, an denen f stetig ist, also kann ich das allgemein sagen F'(x)=f(x)
und damit kann ich, nur weil ich differenzieren kann und das auch "rückwärts" Flächeninhalte unter ganz vielen Graphen bestimmen, ohne mühsam Unter und Obersummen in immer kleineren Schritten auszurechnen
Ich find das ein tolles Ergebnis.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Fr 20.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich habe jetzt ehrlichgesagt den ganzen Kram der bereits gesagt wurde nicht so genau gelesen. Aber bei uns war es zum Beispiel so, dass das Integral definiert wurde (Maßräume, Maße... alles sehr kompliziert) und am Ende hat man dann keine Ahnung was diese wirre Konstruktion überhaupt mit dem "Flächeninhalt unter dem Graphen" zu tun haben soll.
Es gibt da eine sehr schöne, wenn auch anschauliche Überlegung. Angenommen du hast eine stetige Funktione [mm] f:\IR\to\IR^+_0 [/mm] und [mm] a\in\IR [/mm] fest. Nun Bezeichne A(x) die Fläche unter dem Graphen von a bis x, wir wissen erstmal nicht was diese ominöse Funktion A mit Integralen oder f zu tun hat, aber wir wollen ein bischen raten und uns die Sache plausibel machen. 1) ist es sehr plausibel dass A(a)=0 ist, denn zwischen a und a wird ja "keine Fläche" aufgespannt. 2) Sind wir optimistisch und behaupten einfach mal, dass A wieder stetig, nein sogar differenzierbar ist. Was ist die Ableitung? 3) Es ist irgendwie anschaulich plausibel, dass das Wachstum von A an einer Stelle x genau dem Wert f(x) entspricht (man male sich dazu mal ein Bildchen)
Jetzt packen wir mal 1) bis 3) zusammen und nutzen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: [mm] $$A(x)=A(a)+\int_a^xA'(t)\ dt=\int_a^x [/mm] f(t)\ dt$$ D.h wenn unsere Annahmen 1) bis 3) richtig sind, dann ist die Fläche unter dem Graphen genau durch dieses Integral gegeben. Wenn jetzt f(x) auch negativ werden kann, dann bleibt die obige Überlegung natürlich in sofern richtig, dass man die Flächen unterhalb der x-Achse "negativ bewertet".
Gruß, Robert
|
|
|
|
