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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
| Aufgabe 1 | | [mm] \integral [/mm] x [mm] \wurzel{1+4x^2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral x^2 \wurzel{1+4x^2} [/mm] |
Hey bräuchte mal ne Vorgehensweise für diese bestimmten Integrale.
Am besten sowas, wie zb: 1. Substiution, 2. partielle Integration... und dann natürlich noch mit was, ich habe mehrere Sachen probiert, aber bin zu keinem einleuchtenden Ergebnis gekommen.
Dankeschön
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phnix!
Substituiere $u \ := \ [mm] 1+4x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
Substituiere [mm]u \ := \ 1+4x^2[/mm]
Hey, danke für deine schnelle Antwort, aber es funktioniert nicht, weil
[mm] u=1+4x^2
[/mm]
u´=8x
[mm] \bruch{du}{dx}=8x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{8x} [/mm] du
Nun hätte ich zwei Variabeln im Ausdruck, wenn ich das dx einsetze.
Trotzdem Danke für deine schnelle Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phnix!
> [mm]dx=\bruch{1}{8x}[/mm] du
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun hätte ich zwei Variabeln im Ausdruck, wenn ich das dx einsetze.
Zunächst ja, aber das $x_$ kürzt sich doch heraus!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
ich gebe dir Recht,
sry habe es ehct nicht gesehen. Danke.
Zusammengefasst:
[mm] \integral x\wurzel{1+4x^2} [/mm]
[mm] u=1+4x^2 [/mm] u´=8x [mm] \bruch{du}{dx}=8x [/mm] -> [mm] dx=\bruch{1}{8x}du
[/mm]
[mm] \integral x\wurzel{u}\bruch{1}{8x} [/mm] du
[mm] \integral \bruch{x}{8x}\wurzel{u} [/mm] du
[mm] \integral \bruch{1}{8}\wurzel{u} [/mm] du
[mm] \bruch{1}{8}\integral\wurzel{u} [/mm] du
[mm] \bruch{1}{8}\bruch{2}{3}u^\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{24}(1+4x^2)^\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}(1+4x^2)^\bruch{3}{2}+C
[/mm]
Dankeschön loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phnix!
Zwei kleine Anmerkungen:
1. kannst Du vorne im Bruch noch kürzen
2. bei unbestimmten Integralen die Integrationskonstante $+ \ C$ nicht vergessen!
Gruß
Loddar
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Hallo Phnix,
> [mm]\integral[/mm] x [mm]\wurzel{1+4x^2}[/mm]
>
> [mm]\integral x^2 \wurzel{1+4x^2}[/mm]
>
> Hey bräuchte mal ne Vorgehensweise für diese bestimmten
> Integrale.
> Am besten sowas, wie zb: 1. Substiution, 2. partielle
> Integration... und dann natürlich noch mit was, ich habe
> mehrere Sachen probiert, aber bin zu keinem einleuchtenden
> Ergebnis gekommen.
>
Zur Berechnung einer Stammfunktion von
[mm]x^2 \wurzel{1+4x^2}[/mm]
wird zunächst [mm]x=\sinh\left(t\right)[/mm] substituiert.
Für das entstehende Integral ist
die partielle Integration zu verwenden.
> Dankeschön
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm] \integral sinh^2(t)\wurzel{1+4*sinh^2(t)}*cosh(t)
[/mm]
Stimmt dies und wie soll ich nun davon eine partielle machen?
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Hallo Phnix,
> [mm]\integral sinh^2(t)\wurzel{1+4*sinh^2(t)}*cosh(t)[/mm]
>
> Stimmt dies und wie soll ich nun davon eine partielle
> machen?
>
Bringe den Integranden zunächst in eine geeeignete Form.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
ich weiß nicht wie!
Die Formel [mm] cosh^2(t)-sinh(t)=1 [/mm] ist mir bekannt aber die 4*sinh(t) stört mich daran.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Etwas flinker geht es gar, wenn Du wie folgt substituierst:
[mm] $\red{2*}x [/mm] \ := \ [mm] \sinh(t)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
jo, also wenn ich mit x=2sinh(t) -> x´=2cosh(t) -> [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] dx=2cosh(t)
einsetzen:
[mm] \integral 2^2 cosh(t)^2 \wurzel{1+4*2^2*cosh(t)}*\bruch{1}{2*cosh^2(t)} [/mm] dt
[mm] \integral \bruch{2^2 cosh(t)^2}{2*cosh(t)} \wurzel{1+4*2^2*cosh^2(t)} [/mm] dt
[mm] \integral 2*cosh(t)\wurzel{1+4*2^2*cosh^2(t)} [/mm] dt
Nur wie Weiter?
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Hiho,
ich glaube Loddar meinte $x = [mm] \bruch{1}{2}\sinh(x)$, [/mm] dann kürzt sich die 4 raus.
Darauf hätte man aber auch allein kommen können 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
Das da oben war Filefanz.
[mm] \integral x^2\wurzel{1+4x^2} [/mm] dx
[mm] x=\bruch{1}{2}sinh(t) [/mm] -> [mm] dx=2*\bruch{1}{cosh^2(t)} [/mm] dt
[mm] \integral (\bruch{1}{2}sinh(t))^2 \wurzel{1+4(\bruch{1}{2}sinh(t))^2}*2*\bruch{1}{cosh^2(t)} [/mm] dt
[mm] \integral \bruch{1}{2} \bruch{sinh^2(t)*cosh^2(t)}{cosh(t)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral sinh^2(t)*cosh(t)
[/mm]
So stimmt es (mein ich) und nun partielle Integration probiert, aber komm auf keinen grünen Pfad dabei. Kann mir bitte jemand sagen, ob es wirklich stimmt und mir den nächstne Schritt verraten?
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Hallo Phnix,
> Das da oben war Filefanz.
>
> [mm]\integral x^2\wurzel{1+4x^2}[/mm] dx
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}sinh(t)[/mm] -> [mm]dx=2*\bruch{1}{cosh^2(t)}[/mm] dt
>
Es ist doch
[mm]dx=\bruch{1}{2}*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm]
> [mm]\integral (\bruch{1}{2}sinh(t))^2 \wurzel{1+4(\bruch{1}{2}sinh(t))^2}*2*\bruch{1}{cosh^2(t)}[/mm]
> dt
>
> [mm]\integral \bruch{1}{2} \bruch{sinh^2(t)*cosh^2(t)}{cosh(t)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral sinh^2(t)*cosh(t)[/mm]
>
> So stimmt es (mein ich) und nun partielle Integration
> probiert, aber komm auf keinen grünen Pfad dabei. Kann mir
> bitte jemand sagen, ob es wirklich stimmt und mir den
> nächstne Schritt verraten?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm]x=\bruch{1}{2}sinh(t)[/mm]
-> [mm] x'=\bruch{1}{2}cosh(t)
[/mm]
-> [mm] \bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{2}cosh(t) [/mm] |*dx|*2|:1|:cosh
also wieso ist es 1/2, wenn ich es umstelle komme ich darauf.
-> [mm]dx=2*\bruch{1}{cosh^2(t)}[/mm] dt
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Hallo Phnix,
> [mm]x=\bruch{1}{2}sinh(t)[/mm]
>
> -> [mm]x'=\bruch{1}{2}cosh(t)[/mm]
>
> -> [mm]\bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{2}cosh(t)[/mm] |*dx|*2|:1|:cosh
>
Hier musst Du doch x' ersetzen mit [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm]
Damit ist
[mm]x'=\blue{\bruch{dx}{dt}}=\bruch{1}{2}cosh(t) [/mm]
> also wieso ist es 1/2, wenn ich es umstelle komme ich
> darauf.
>
> -> [mm]dx=2*\bruch{1}{cosh^2(t)}[/mm] dt
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Phnix |
ich habe immer gelernt [mm] \bruch{dt}{dx}.
[/mm]
Gibt es dort verschiedene Fälle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hast du sicher nie gelernt.
wenn du etwa [mm] 4x^2+1=t [/mm] hast ist t eine funktion von x und du bildest dt/dx
wenn du aber x=sinh(t)t setzt kannst du entweder t=Arsinh(x) schreiben und dt/dx bilden oder du bildest einfacher weil x=x(t) ist dx/dt. auf keinen fall kannst du schreiben x'(t)=dt/dx
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Do 19.01.2012 | | Autor: | Phnix |
> Das da oben war Filefanz.
>
> [mm]\integral x^2\wurzel{1+4x^2}[/mm] dx
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}sinh(t)[/mm] -> [mm]dx=\bruch{1}{2}cosh(t)[/mm] dt
>
> [mm]\integral (\bruch{1}{2}sinh(t))^2 \wurzel{1+4\bruch{1}{2}^2sinh^2(t)}\bruch{1}{2}cosh(t)[/mm]
> dt
>
> [mm]\integral \bruch{1}{8} \bruch{sinh^2(t)*cosh^2(t)}{cosh(t)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{8}\integral sinh^2(t)*cosh(t)[/mm]
>
Ich weiß nicht wie ich hier irgendwie etwas patial integrieren soll
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Do 19.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gono!
> ich glaube Loddar meinte [mm]x = \bruch{1}{2}\sinh(x)[/mm],
Erwischt, Du hast natürlich Recht!
Gruß
Loddar
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wo kommt denn hier plötzlich der Bruch bzw. der Nenner her?
