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Integrale 4: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 22:21 So 15.06.2008
Autor: Tyskie84

Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion [mm] \\f [/mm] und [mm] \\g [/mm]  mit [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und [mm] g(x)=x\cdot(2-x). [/mm] Skizziere die Graphen von [mm] \\f [/mm] unf [mm] \\g [/mm] in einem Koordinatensystem und bestimme, in welchem Verhältnis der Graph von [mm] \\f [/mm] die Fläche teilt, die der Graph von [mm] \\g [/mm] mit der [mm] \\1. [/mm] Achse einschließt.

Aufgabe 2
Die Funktion [mm] \\f [/mm] ist gegeben durch [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}, [/mm] x>0.
a) Berechne die Fläche unter dem Graphen von [mm] \\f [/mm] über dem Intervall [1;4].
b) Welche Parallele zur 2. Achse mit [mm] \\x=k [/mm] halbiert die in Teilaufgabe a) berechnete Fläche.
c) Welche Parallele zur 1. Achse mit [mm] \\y=k [/mm] halbiert die in Teilaufgabe a) berechnete Fläche

Aufgabe 3
Der Graph einer ganzrationalen Funktion [mm] \\f [/mm] vom Grad [mm] \\3 [/mm] ist symmetrisch zum Koordinatenursprung und schneidet die [mm] \\1. [/mm] Achse an der Stelle [mm] \\1. [/mm] Außerdem schließt der Graph mit der [mm] \\1. [/mm] Achse im [mm] \\1. [/mm] Quadranten eine Fläche mit dem Flächeninhalt [mm] \\12 [/mm] ein. Bestimme den Funktionstrerm [mm] \\f(x). [/mm]

Quelle: Elemente der Mathematik

        
Bezug
Integrale 4: (Entwurf)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Fr 20.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Tyskie und Herby und arg!

Bei diesen Aufgaben habe ich große Schwierigkeiten. Ich weiß eigentlich sollten diese Kenntnisse zum Vorwissen gehören, aber ich krieg das aleine nicht auf die Reihe.


Ich finde z.B bei c einfach keine Ansatzpunkte, denn ich habe noch nie ein solches Rätsel gelöst. Auch in meinem Buch finde ich kein solches Beispiel....Könntet ihr mir bitte einen Ansatzpunkt geben?

Ich weiß das es eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist, also eine Funktion der Form [mm] ax^3+bx^2+cx+d. [/mm] Sie ist Symmetrisch zum Koordinatenursprung, also gilt doch [mm] a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d=-(ax^3+bx^2+cx+d). [/mm] Wenn man für x=1 einsetzt soll der Funktionswert 0 [mm] sein.\integral{(ax^3+bx^2+cx+d) dx} [/mm] =12. Aber wie finde ich die Grenzen für dieses Integral? Und wie füge ich dieses Wissen zusammen, sodass ich den Funktionsterm erhalte?[verwirrt]


Die 1. Aufgabe habe ich hoffenlich korrekt gemacht.
Ich habe zuerst jeweils die Stammfunktionen gebildet:

[mm] \integral{x^2 dx} [/mm]  = [mm] \bruch{x^3}{3}+C [/mm]
[mm] \integral{2x-x^2} =\integral{2x dx}-\integral{x^2 dx}=x^2+C [/mm] und [mm] \bruch{x^3}{3}+C [/mm]

Eigentlich war die Überlegung:

[mm] \bruch{Von Graph f und g eingeschlossene Fläche}{Von Graph g und x-Achse eingeschlossene Fläche}=\bruch{\integral_{0}^{2}{2x-x^2}-(\integral_{0}^{1}{x^2 dx}+ \integral_{1}^{2}{2x-x^2})}{\integral_{0}^{2}{2x-x^2}} [/mm]    

So bin ich auf [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{\bruch{4}{3}} [/mm] gekommen , was dem Verhältniss 1:4 entspricht.  Stimmt das soweit?

Bei der 2. Aufgabe habe ich wieder zuerst die Stammfunktion gebildet:

[mm] 2*\wurzel{x}+C [/mm]

Dann habe ich den Wert berechnet: W=2

Bei b) weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll. Wäre euch dankbar wenn ihr mir auch hier einen Ansatz geben könntet? [verwirrt]

Bei c) habe ich ein gutes Gefühl.

Ich habe die folgende Gleichung aufgestellt:

4*C-1*C=1

[mm] C=\bruch{1}{3} [/mm]

So bin ich auf die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{3} [/mm] gekommen.
Könnte man daran formal noch etwas verbessern?


Vielen Dank für eure  Hilfe!!  :-)

Gruß

Angelika





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Bezug
Integrale 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Di 24.06.2008
Autor: Tyskie84

Hallo Angelika,

ich hätte schon früher antworten können aber ich konnte erst jetzt deine Antwort lesen obwohl du sie schon vor 4 Tagen gestellt hast. Ich weiss nicht warum [kopfkratz3].

Also zu 1)

Ich bekomme da ein anderes Verhältnis heraus und zwar 1:3.

Zu berechnen ist die Fläche zwischen [mm] \\f [/mm] und [mm] \\g [/mm] und dann zwischen [mm] \\g [/mm] und der x-Achse. Die Fläche zw. [mm] \\f [/mm] unf [mm] \\g [/mm] sollte [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sein und die Fläche zw [mm] \\g [/mm] und x-Achse ist genau [mm] \\1. [/mm] Also 1:3 :-)

2a ist korrekt :-)

2b) Gesucht ist der Flächeninhalt mit dem Wert [mm] \\1. [/mm] Du musst also das folgenden Integral berechnen: [mm] \integral_{1}{^k}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}=1. [/mm] Weisst du auch warum?

Kontrollergebniss: x=2,25.

Die c) funktioniert eigentlich fast genau so. Versuch zunächst die b) zu lösen vllt fällt dir was ein ansonsten einfach melden :-)

zu 3)

Also zunächst hast du richtig erkannt dass es sich um eine Funktion dritten Gerades handelt :-) Weiter wissen wir dass sie symmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Das heisst dass das additive glied schon mal raus fliegt. Was wissen wir noch. Ist sie ungerade oder gerade? Können wir da eine Aussage machen?

Nun wandeln wir die Aussagen in mathematische Beziehungen um. Dann haben wir [mm] \\f(1)=0 [/mm]

Damit haben wir zugleich eine Grenze. Die ist nämlich 1

Dann müssen wir noch das Integral lösen [mm] \integral_{1}^{k}{\\f(x) dx}=12. [/mm] Schaffst du das nun?

[hut] Gruß



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Bezug
Integrale 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mi 25.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Tyskie!

Danke für deine Antwort!  :-)
Du hast mir sehr geholfen und ich konnte einiges verbessern!  [happy]

Nachdem was du gesagt hast müsste mein Grundkonzept doch stimmen, oder?

[mm] \bruch{\integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}-(\integral_{0}^{1}{x^2 dx}+ \integral_{1}^{2}{2x-x^2 dx})}{\integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}} [/mm] $

Beim Inhalt zwischen g und f komme ich doch auch auf [mm] \bruch{1}{3}. [/mm]
Nur beim Inhalt zwischen g und der x-Achse erhalte ich [mm] \bruch{4}{3}. [/mm] Was mache ich falsch?:

[mm] \integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}=\integral_{0}^{2}{2x dx}-\integral_{0}^{2}{x^2 dx} [/mm]

Stammfunktionen:

[mm] x^2+C [/mm]    und [mm] \bruch{x^3}{3}+C [/mm]

Grenzen einsetzen:

[mm] |2^2-0^2|-|\bruch{2^3}{3}-\bruch{0^3}{3}|=|4|-|\bruch{8}{3}|=\bruch{12}{3}-\bruch{8}{3}=\bruch{4}{3} [/mm]

Deshalb erhalte ich das Verhältniss 1:4 [verwirrt]

2b)  Hier bin ich dank deinem Ansatz auf dein angegebenes Ergebniss gekommen: Die obere Grenze ist ja die Variable, da der Flächeninhalt und die untere Grenze gegeben.Hab die Gleichung:

[mm] 2*\wurzel{x}-2*\wurzel{1}=1 [/mm]

[mm] 2*\wurzel{x}=3 [/mm]

[mm] x=(\bruch{3}{2})^2 [/mm]

[mm] x=\bruch{9}{4} [/mm]

Stimmt meine c) nicht, die ich in der Antwort angegeben hatte?

[mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{3}x dx} [/mm] ist doch 1, also die Hälfte von 2.

Bei der letzten Aufgabe haben mir deine Tipps auch sehr geholfen. Aber gibt es da nicht mehrere Funktionen die diese Bedingungen erfüllen?
Auf jeden Fall muss die Funktion die Form [mm] ax^3-ax [/mm] haben.

Ich habe jetzt mal einfach [mm] x^3-x [/mm] genommen und eine Gleichung aufgestellt:

[mm] \bruch{x^4}{4}-\bruch{x^2}{2}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}=12 [/mm]
= [mm] x^4-2x^2-3=48=x^4-2x^2-51=0 [/mm]

Ich scheitere jedoch bei der Polynomdivision:

[mm] x^4-2x^2-51:(x-1)=x^3 [/mm]
[mm] -(x^4-x^3) [/mm]

[verwirrt]

Ganz unabhangig davon ob mein Ansatz [mm] x^3-x [/mm] stimmt hatte ich eine Frage. Wie macht man eigentlich in so einem Fall bei einer Polynomdivision weiter? Wie subtrahiere ich den unteren Ausdruck?

Das du meinen Artikel nicht früher lesen konntest hatte damit zu tun, dass ich ihn zuerst als Entwurf geschrieben hatte.
Könntest du mir noch einen Gefallen tun? Obwohl die Fälligkeit meiner letzte Frage zu Integrale 3 bereits abgelaufen ist, könntest du sie trotzdem noch beantworten?  :-)

Vielen Dank für die Hilfe!

Gruß

Angelika



Bezug
                                
Bezug
Integrale 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Mi 25.06.2008
Autor: Tyskie84

Hi Angelika,

> Hallo Tyskie!
>  
> Danke für deine Antwort!  :-)
>  Du hast mir sehr geholfen und ich konnte einiges
> verbessern!  [happy]
>  
> Nachdem was du gesagt hast müsste mein Grundkonzept doch
> stimmen, oder?
>  

Ja deine Grundidee ist richtig [daumenhoch]

> [mm]\bruch{\integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}-(\integral_{0}^{1}{x^2 dx}+ \integral_{1}^{2}{2x-x^2 dx})}{\integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}}[/mm]
> $
>  
> Beim Inhalt zwischen g und f komme ich doch auch auf
> [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
>  Nur beim Inhalt zwischen g und der x-Achse erhalte ich
> [mm]\bruch{4}{3}.[/mm] Was mache ich falsch?:
>  

Hm ich denke ich weiss was du falsch machst. Schau:

Die Fläche zwischen g und der x achse ist zwar [mm] \bruch{4}{3} [/mm] aber das ist eig nicht gesucht denn du musst ja die Fläche von f und g abziehen also, [mm] \bruch{4}{3}-\bruch{1}{3}=1. [/mm] Zeichne dir mal die Funktionen auf.

> [mm]\integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}=\integral_{0}^{2}{2x dx}-\integral_{0}^{2}{x^2 dx}[/mm]
>  
> Stammfunktionen:
>  
> [mm]x^2+C[/mm]    und [mm]\bruch{x^3}{3}+C[/mm]
>  
> Grenzen einsetzen:
>  
> [mm]|2^2-0^2|-|\bruch{2^3}{3}-\bruch{0^3}{3}|=|4|-|\bruch{8}{3}|=\bruch{12}{3}-\bruch{8}{3}=\bruch{4}{3}[/mm]
>  

In Ordnung aber Erklärung siehe oben :-)

> Deshalb erhalte ich das Verhältniss 1:4 [verwirrt]
>  
> 2b)  Hier bin ich dank deinem Ansatz auf dein angegebenes
> Ergebniss gekommen: Die obere Grenze ist ja die Variable,
> da der Flächeninhalt und die untere Grenze gegeben.Hab die
> Gleichung:
>  
> [mm]2*\wurzel{x}-2*\wurzel{1}=1[/mm]
>  
> [mm]2*\wurzel{x}=3[/mm]
>  
> [mm]x=(\bruch{3}{2})^2[/mm]
>  
> [mm]x=\bruch{9}{4}[/mm]
>  

[ok]

> Stimmt meine c) nicht, die ich in der Antwort angegeben
> hatte?
>

Doch sie stimmt [ok] Ich hatte übersehen dass du sie gemacht hast.

> [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{3}x dx}[/mm] ist doch 1, also die
> Hälfte von 2.
>  
> Bei der letzten Aufgabe haben mir deine Tipps auch sehr
> geholfen. Aber gibt es da nicht mehrere Funktionen die
> diese Bedingungen erfüllen?

Also, bei dieser Aufgabe handelt es sich ja um eine sogennante Steckbriefaufgabe.

[mm] \\f(x)=ax^{3}+\red{b}x [/mm] ist richtig.
Was ist nun [mm] \\F(x) [/mm] ? Also einfach integrieren.


Noch was: Wenn wir wissen dass die gesuchte Funktion eine Nullstelle bei 1 hat und wir zusätzlich wissen dass die Funktion symmetrisch zum Ursprung ist dann wissen wir doch noch eine Nullstelle. Also einmal als Nullstelle x=1 dann x=0 wegen dem Koordinateursprung und dann noch x=-1 :-)

Nun hast du genügend Eigenschaften um die Funktionsgleichung aufzustellen.

Es läuft also auf ein Gleichungssystem hinaus welches du lösen musst.

Kontrollergebnis: [mm] \\f(x)=-48x^{3}+48x [/mm]

>  Auf jeden Fall muss die Funktion die Form [mm]ax^3-ax[/mm] haben.
>  
> Ich habe jetzt mal einfach [mm]x^3-x[/mm] genommen und eine
> Gleichung aufgestellt:
>  
> [mm]\bruch{x^4}{4}-\bruch{x^2}{2}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}=12[/mm]
>  = [mm]x^4-2x^2-3=48=x^4-2x^2-51=0[/mm]
>  
> Ich scheitere jedoch bei der Polynomdivision:
>  
> [mm]x^4-2x^2-51:(x-1)=x^3[/mm]
>  [mm]-(x^4-x^3)[/mm]
>  
> [verwirrt]
>  
> Ganz unabhangig davon ob mein Ansatz [mm]x^3-x[/mm] stimmt hatte ich
> eine Frage. Wie macht man eigentlich in so einem Fall bei
> einer Polynomdivision weiter? Wie subtrahiere ich den
> unteren Ausdruck?

[mm] x^{4}-2x^2-51:(x-1)=x^{3}+x^2-x-1-\bruch{52}{(x-1)} [/mm]
[mm] -(x^{4}-x^{3}) [/mm]
    [mm] x^{3} [/mm]
  [mm] -(x^{3}-x^{2}) [/mm]
    [mm] -x^{2} [/mm]
     [mm] -(-x^{2}+x) [/mm]
       -x
      -(-x+1)
        -52

>  
> Das du meinen Artikel nicht früher lesen konntest hatte
> damit zu tun, dass ich ihn zuerst als Entwurf geschrieben
> hatte.
>  Könntest du mir noch einen Gefallen tun? Obwohl die
> Fälligkeit meiner letzte Frage zu Integrale 3 bereits
> abgelaufen ist, könntest du sie trotzdem noch beantworten?  

Ich werde es im Verlauf diesen Tages versuchen :-)

> :-)
>  
> Vielen Dank für die Hilfe!
>  
> Gruß
>  
> Angelika
>  
>  

[hut] Gruß

Bezug
                                        
Bezug
Integrale 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Mi 25.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Tyskie!

Danke für deine schnelle Korrektur!    :-)
Bei der 1. Aufgabe habe ich total vergessen zu subtrahieren! Danke für deinen Hinweis!  [happy]

Jetzt wo du sagst [mm] -48x^3+48x [/mm] habe ich den Lösungsweg gefunden. Ich dachte immer an positive a's und negative b's, wo sich die Fläche zwischen 0 und 1 im 4. Quadranden bildet.

So habe ich jetzt versucht eine Gleichung zu formulieren:
Aber es lässt sich doch nur ein Gleichungssystem aufstellen, wenn man weiß, dass a=b gilt, oder?

[mm] -\bruch{a*1^4}{4}+\bruch{a*1^2}{2}=12 [/mm]     /*4

-a+2a=48

a=48

Vielen Dank!   :-)

Gruß

Angelika

Bezug
                                                
Bezug
Integrale 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Mi 25.06.2008
Autor: Tyskie84

Hi Angelika,

> Hallo Tyskie!
>  
> Danke für deine schnelle Korrektur!    :-)
>  Bei der 1. Aufgabe habe ich total vergessen zu
> subtrahieren! Danke für deinen Hinweis!  [happy]
>  

Flüchtigkeitsfehler passieren immer ;-)

> Jetzt wo du sagst [mm]-48x^3+48x[/mm] habe ich den Lösungsweg
> gefunden. Ich dachte immer an positive a's und negative
> b's, wo sich die Fläche zwischen 0 und 1 im 4. Quadranden
> bildet.
>  
> So habe ich jetzt versucht eine Gleichung zu formulieren:
>  Aber es lässt sich doch nur ein Gleichungssystem
> aufstellen, wenn man weiß, dass a=b gilt, oder?
>  

Du meinst wohl eher [mm] \\a=\red{-}b [/mm]

> [mm]-\bruch{a*1^4}{4}+\bruch{a*1^2}{2}=12[/mm]     /*4
>  
> -a+2a=48
>  
> a=48
>  

Demnach hier [mm] \\a=-48 [/mm]

> Vielen Dank!   :-)
>  
> Gruß
>  
> Angelika

[hut] Gruß


Bezug
        
Bezug
Integrale 4: Aufgabe 4
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Sa 07.02.2009
Autor: Schachschorsch56

Aufgabe 4
1)
Wir haben [mm] f(x)=x^2 [/mm] und g(x)=x(x-2) Gesucht ist das Verhältnis der von beiden Funktionen eingeschlossenen Fläche geteilt duch die Differenz der von g mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche und der von beiden Funktionen eingeschlossenen Fläche.

Zuerst berechne ich die Fläche der von f und g eingeschlossenen Fläche. Dazu benötige ich zuerst die Schnittstellen und setze f(x)=g(x)

[mm] x^2=2x-x^2 [/mm] | [mm] +x^2-2x [/mm]

2x(x-1)=0 [mm] \Rightarrow x_{S_1}=0 \wedge x_{S_2}=1 [/mm]

Die x-Werte dieser beiden Schnittpunkte bilden das Intervall [0;1] der gesuchten Fläche.

Zur Flächenberechnung benutzen wir das Integral und setzen zur Sicherheit Betragsstriche

[mm] |\integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x)) dx}|=|\integral_{0}^{1}{(2x^2-2x) dx}|= [/mm]

[mm] |[\bruch{2}{3}x^3-x^2]^{1}_{0}|=|(\bruch{2}{3}-1)-(\bruch{2}{3}0^3-0^2)=|-\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{3} [/mm] FE

Jetzt berechnen wir die von g mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche. Dazu benötigen wir die NST von g(x).

[mm] g(x)=0=2x-x^2=x(2-x) \Rightarrow x_{N_1}=0 \wedge x_{N_2}=2 [/mm]

Die gesuchten Fläche liegt im Intervall [0;2]:

[mm] \integral_{0}^{2}{(2x-x^2) dx}=[x^2-\bruch{x^3}{3}]^{2}_{0}=(4-\bruch{8}{3}-(0^2-\bruch{0^3}{3})=\bruch{4}{3} [/mm] FE

Das gesuchte Verhältnis wird dann so berechnet: [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{(\bruch{4}{3}-\bruch{1}{3})}=\bruch{1}{3} [/mm] also 1 : 3

Aufgabe 4
2)
[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}, [/mm] x>0

a)
Wir schreiben [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}=x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] und berechnen die Fläche im Intervall [1;4] so:

[mm] \integral_{1}^{4}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}=[2\wurzel{x}]^{4}_{1}=2 [/mm] FE

b)
x=k (parallel zur y-Achse, halbiert die in a) berechnete Fläche)

k muss also im Intervall [1;4] liegen.

Wie in a) stelle ich das Integral auf, mit der neuen Obergrenze k und dem Ergebnis 1 FE:

[mm] \integral_{1}^{k}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}=1=[2\wurzel{x}]^{k}_{1}=(2\wurzel{9}-2\wurzel{1})= [/mm]

[mm] 2\wurzel{k}-2=1 [/mm] |+2
[mm] 2\wurzel{k}=3 [/mm]  |:2
[mm] \wurzel{k}=\bruch{3}{2} [/mm] |quadrieren      damit ist

[mm] k=\bruch{9}{4} [/mm]

c)
g(x)=k (parallel zur x-Achse, halbiert die in a) berechnete Fläche)

Die Gerade g(x)=k hat mit [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] den Schnittpunkt S  [4;k]

Die Fläche unter g(x) im Intervall [1;4] soll die Hälfte von 2 FE, also 1 FE sein. Dies schreiben wir zur Berechnung von k mit dem Intervall

[mm] \integral_{1}^{4}{g(x) dx}=\integral_{1}^{4}{k dx}=1=[kx]^{4}_{1}=4k-k=1 \Rightarrow k=\bruch{1}{3} [/mm]

Die gesuchte Gerade heißt [mm] g(x)=\bruch{1}{3} [/mm]

Aufgabe 4
3)
Gesucht wird [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, [/mm] für die gilt: f(x)=-f(-x) (=Punktsymmetrie zum Ursprung), zudem soll gelten: [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=12 [/mm] . Auch hat die Funktion bei x=1 eine Nullstelle

Damit darf f nur ungerade Exponenten haben. Aufgrund des Punktes (0;0) ist die Variable d=0 [mm] (f(0)=0=a*0^3+b*0^2+c*0+d). [/mm]

Als gesuchte Funktion bleibt also übrig:

[mm] f(x)=ax^3+cx [/mm] ich bestimme gleich die 1. und 2. Ableitung:

f'(x)=3ax+c
f''(x)=3a

Das In der Aufgabe genannte Integral lautet: [mm] \integral_{0}^{1}{(ax^3+cx) dx}=12 [/mm]

Ermittelt werden müssen also noch die Variablen a und c. Dazu müssen wir die gegebenen Bedingungen nutzen:

1. wegen P(1|0) gilt [mm] f(1)=0=a*1^3+c*1=a+c [/mm] (dies gilt auch für die Nullstelle P' (-1|0))

2. Wir haben also die NST und setzen f(x)=0 (in diesem Fall der umgekehrte Weg wie sonst...)
damit ist:

[mm] f(x)=0=ax^3+cx=x(ax^2+c) x_{N_1}=0 [/mm] (Ursprung)

[mm] ax^2+c=0; [/mm] für [mm] x_{N_2}=1 [/mm] gilt [mm] 1=\wurzel{\bruch{c}{a}} [/mm] |quadrieren

[mm] 1=-\bruch{c}{a} [/mm] damit a=-c

3. Das Integral mit der Fläche 12 heißt:

[mm] \integral_{0}^{1}{(ax^3+cx) dx}=12 [/mm]

jetzt nutzen wir das Ergebnis aus 2. (a=-c) und setzen c=-a in die f(x) ein:

[mm] \integral_{0}^{1}{(ax^3-ax) dx}=12=a\integral_{0}^{1}{(x^3-x) dx}=a[\bruch{x^4}{4}-\bruch{x^2}{2}]^{1}_{0} [/mm]

[mm] 12=a(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}) [/mm]

[mm] 12=a*-\bruch{1}{4} [/mm] | : [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] ergab dann für a=-48 und c=48

Der gesuchte Funktionsterm lautete nun:

[mm] f(x)=-48x^3+48x [/mm]

(Anmerkung: ich hatte in meiner ersten Brechnung den geraden Exponenten 2 bei den Bedingungen nicht gestrichen, kam dann am Ende aber auch auf dieses Ergebnis.)

Gibt es eigentlich einen kürzeren Berechnungsweg ?

Schorsch

Bezug
                
Bezug
Integrale 4: Aufgabe 4.1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 So 08.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


> Wir haben [mm]f(x)=x^2[/mm] und g(x)=x(x-2) Gesucht ist das
> Verhältnis der von beiden Funktionen eingeschlossenen
> Fläche geteilt duch die Differenz der von g mit der x-Achse
> eingeschlossenen Fläche und der von beiden Funktionen
> eingeschlossenen Fläche.

Hm, das würde ich anders interpretieren: es ist das Verhältnis gesucht der Fläche zwischen den beiden Funktionen $f_$ und $g_$  zu derjenigen Fläche, welche $g_$ im Gesamten mit der x-Achse einschließt (also ohne Differenz).

Aber bleiben wir mal bei Deiner Variante.

  

> Zuerst berechne ich die Fläche der von f und g
> eingeschlossenen Fläche. Dazu benötige ich zuerst die
> Schnittstellen und setze f(x)=g(x)
>  
> [mm]x^2=2x-x^2[/mm] | [mm]+x^2-2x[/mm]
>  
> 2x(x-1)=0 [mm]\Rightarrow x_{S_1}=0 \wedge x_{S_2}=1[/mm]

[ok]

  

> Die x-Werte dieser beiden Schnittpunkte bilden das
> Intervall [0;1] der gesuchten Fläche.

[ok]


  

> Zur Flächenberechnung benutzen wir das Integral und setzen
> zur Sicherheit Betragsstriche
>  
> [mm]|\integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x)) dx}|=|\integral_{0}^{1}{(2x^2-2x) dx}|=[/mm]
>  
> [mm]|[\bruch{2}{3}x^3-x^2]^{1}_{0}|=|(\bruch{2}{3}-1)-(\bruch{2}{3}0^3-0^2)=|-\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{3}[/mm] FE

[ok]

  

> Jetzt berechnen wir die von g mit der x-Achse
> eingeschlossenen Fläche. Dazu benötigen wir die NST von g(x).
>  
> [mm]g(x)=0=2x-x^2=x(2-x) \Rightarrow x_{N_1}=0 \wedge x_{N_2}=2[/mm]
>  
> Die gesuchten Fläche liegt im Intervall [0;2]:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2}{(2x-x^2) dx}=[x^2-\bruch{x^3}{3}]^{2}_{0}=(4-\bruch{8}{3}-(0^2-\bruch{0^3}{3})=\bruch{4}{3}[/mm] FE

[ok]

  

> Das gesuchte Verhältnis wird dann so berechnet:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{(\bruch{4}{3}-\bruch{1}{3})}=\bruch{1}{3}[/mm]
> also 1 : 3

[ok] Bei meiner Intepretation würde es dann heißen:
[mm] $$\bruch{A_1}{A_2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{\bruch{4}{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                
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Integrale 4: Aufgabe 4.2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 So 08.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


> a) Wir schreiben [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}=x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> und berechnen die Fläche im Intervall [1;4] so:
>  
> [mm]\integral_{1}^{4}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}=[2\wurzel{x}]^{4}_{1}=2[/mm] FE

[ok]


> b)
> x=k (parallel zur y-Achse, halbiert die in a) berechnete Fläche)
>  
> k muss also im Intervall [1;4] liegen.
>  
> Wie in a) stelle ich das Integral auf, mit der neuen
> Obergrenze k und dem Ergebnis 1 FE:

[ok]

  

> [mm]\integral_{1}^{k}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}=1=[2\wurzel{x}]^{k}_{1}=(2\wurzel{9}-2\wurzel{1})=[/mm]

Hinten Tippfehler: muss [mm] $\wurzel{\red{k}}$ [/mm] heißen.

  

> [mm]2\wurzel{k}-2=1[/mm] |+2
> [mm]2\wurzel{k}=3[/mm]  |:2
> [mm]\wurzel{k}=\bruch{3}{2}[/mm] |quadrieren      damit ist
>  
> [mm]k=\bruch{9}{4}[/mm]

[ok]

  

> c)
> g(x)=k (parallel zur x-Achse, halbiert die in a) berechnete Fläche)
>  
> Die Gerade g(x)=k hat mit [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] den
> Schnittpunkt S  [4;k]

[ok] Das müsste evtl. noch begründet werden. Oder man schreibt, dass dies eine Annahme sei, die durch die nachfolgende Berechnung bestätigt wird.

  

> Die Fläche unter g(x) im Intervall [1;4] soll die Hälfte
> von 2 FE, also 1 FE sein. Dies schreiben wir zur Berechnung
> von k mit dem Intervall
>  
> [mm]\integral_{1}^{4}{g(x) dx}=\integral_{1}^{4}{k dx}=1=[kx]^{4}_{1}=4k-k=1 \Rightarrow k=\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> Die gesuchte Gerade heißt [mm]g(x)=\bruch{1}{3}[/mm]

[ok]


Gruß
Loddar


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Integrale 4: Aufgabe 4.3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 So 08.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


> Damit darf f nur ungerade Exponenten haben.

[ok]


> Aufgrund des Punktes (0;0) ist die Variable d=0

Das gilt bei Punktsymmetrie zum Ursprung immer!


> Als gesuchte Funktion bleibt also übrig:
>  
> [mm]f(x)=ax^3+cx[/mm]

[ok]

> ich bestimme gleich die 1. und 2. Ableitung:

Ist hier nicht notwendig, da keine Bedingungen für Extrema und/oder Wendestellen vorliegen.


> Das In der Aufgabe genannte Integral lautet:
> [mm]\integral_{0}^{1}{(ax^3+cx) dx}=12[/mm]

[ok]


> Ermittelt werden müssen also noch die Variablen a und c.
> Dazu müssen wir die gegebenen Bedingungen nutzen:
>  
> 1. wegen P(1|0) gilt [mm]f(1)=0=a*1^3+c*1=a+c[/mm]

[ok]


> (dies gilt auch für die Nullstelle P' (-1|0))

Unnötig.
Du hast doch nun bereits zwei Bestimmungsgleichungen für Deine beiden Unbekannten $a_$ und $c_$ .


> 2. Wir haben also die NST und setzen f(x)=0 (in diesem Fall
> der umgekehrte Weg wie sonst...)
>  damit ist:
>  
> [mm]f(x)=0=ax^3+cx=x(ax^2+c) x_{N_1}=0[/mm] (Ursprung)
>  
> [mm]ax^2+c=0;[/mm] für [mm]x_{N_2}=1[/mm] gilt [mm]1=\wurzel{\bruch{c}{a}}[/mm]
> |quadrieren
>  
> [mm]1=-\bruch{c}{a}[/mm] damit a=-c

Ebenfalls unnötig. Das hättest Du aus der ermittelten Gleichung $a+c \ = \ 0$ viel schneller haben können.

  

> 3. Das Integral mit der Fläche 12 heißt:
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{(ax^3+cx) dx}=12[/mm]

[ok]

  

> jetzt nutzen wir das Ergebnis aus 2. (a=-c) und setzen c=-a
> in die f(x) ein:

[ok] Gute Idee!



> [mm]\integral_{0}^{1}{(ax^3-ax) dx}=12=a\integral_{0}^{1}{(x^3-x) dx}=a[\bruch{x^4}{4}-\bruch{x^2}{2}]^{1}_{0}[/mm]
>  
> [mm]12=a(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2})[/mm]
>  
> [mm]12=a*-\bruch{1}{4}[/mm] | : [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] ergab dann für a=-48
> und c=48
>  
> Der gesuchte Funktionsterm lautete nun:
>  
> [mm]f(x)=-48x^3+48x[/mm]

[ok] Es gibt sogar eine 2. Lösung mit [mm] $f_2 [/mm] \ = \ [mm] +48*x^3-48*x$ [/mm] , wenn man bei der Flächengleichung (die mit dem Integral) Betragsstriche setzt.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
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Integrale 4: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 So 08.02.2009
Autor: Schachschorsch56

Danke für die Tipps Loddar !

Bei der Struktur meiner Lösungen habe ich immer noch Probleme.

Jetzt muss ich mich mal darum kümmern, meine Kenntnisse zu Ketten-, Quotientenregeln und Substitution bei Ableitungen und Integralen zu verbessern. Habe da Schwierigkeiten mit dem Nachvollziehen der Zusammenhänge.

Werde mal die Lösungen anderer und die jeweiligen Kommentare näher betrachten müssen. In diesem Vorkurs sind ja noch verschiedenste Integralaufgaben.

Die Regeln können glaube ich nur durch häufiges Üben "in Fleisch und Blut übergehen" !

Bis demnächst

Schorsch

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