Integrale berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:15 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | a) [mm] \integral_{0}^{4}{\wurzel{9-2x} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{1}^{5}{x*\wurzel{5-x} dx}
[/mm]
c) [mm] 2*\integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^{2}-x^{2}} dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\wurzel{x}+1}} dx}
[/mm]
e) [mm] \integral_{}^{}{sin^{3}x*cos^{3}x dx}
[/mm]
f) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}
[/mm]
g) [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{x}{(4+x^{2})^{2}} dx}
[/mm]
h) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{cos^{2}x} dx}
[/mm]
i) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{sin2x}{cosx} dx}
[/mm]
j) [mm] \integral_{0}^{9}{\bruch{x}{\wurzel{9-x}} dx}
[/mm]
k) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos}{x}-\bruch{sinx}{x^{2}} dx}
[/mm]
l) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
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Halllo alle zusammen ^^
Ich hab gemerkt,dass ich noch ziemlich große Schwierigeiten mit Integralen berechnen hab (vor allem mit Substitution) und hab deswegen als Übung die oben stehenden Integrale berechnet,bzw.versucht zu berechnen.
Es wäre gut,wenn ihr die mal nachschauen und mir meine Fehler sagen könntet.
a) z:9-2x
[mm] \bruch{dz}{dx}=-2
[/mm]
dx=0.5
[mm] =\integral_{0}^{4}{\wurzel{z}*0.5 dx}=[\bruch{1}{3}(9-2x)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Das kann aber nicht stimmen,weil bei der Ableitung was anderes raus kommt ???
b) z:5-x
[mm] \bruch{dz}{dx}=-1
[/mm]
dx=-1dz
[mm] =\integral_{1}^{5}{-x*\wurzel{z} dx}
[/mm]
hier hebt sich kein x weg,als kann ich es auch nicht berechnen....?
c) Die Substitution ist schon vorgegeben: x=rsinz
[mm] \bruch{dz}{dx}=rcosz
[/mm]
dc=rcosz
[mm] =2*\integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^{2}-r^{2}+sin^{2}z}*rcosz dx}
[/mm]
Jetzt hab ich wieder sin und cos stehen und kann nix damit anfangen....
d) [mm] z:\wurzel{x}+1
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] dx=2*\wurzel{x}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2\wurzel{z} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{2 dx}
[/mm]
Das kann einfach nicht stimmen,aber ich weiß nicht was ich falsch mache...?
e) Ich weiß nicht mal was ich hier substituieren soll
f) [mm] z:1-x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=2x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2x}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{\wurzel{z}}*\bruch{1}{2x} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{x}{2*\wurzel{z}} dx}
[/mm]
g) [mm] z:4+x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=2x
[/mm]
dx=0.5x
[mm] =\integral_{2}^{\infty}{\bruch{x}{(z)^{2}}*0.5 dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{2}^{\infty}{\bruch{x^{2}}{(2z)^{2}} dx}
[/mm]
h) und i) Bei diesen beiden hab ich überhaupt keinen Plan,was ich substituieren soll.
j) z:9-x
[mm] \bruch{dz}{dx}=-1
[/mm]
dx=-1
[mm] =\integral_{0}^{9}{\bruch{x}{\wurzel{z}}*-1 dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{9}{-\bruch{x}{\wurzel{z}} dx}
[/mm]
das bringt mich auch nicht weiter...
Und bei k) und l) hab ich auch keinen Plan,wie ich rangehen soll....???
Irgendwie hab ich noch sehr große Probleme mit diesen Integralen,könntet ihr mir bitte helfen,die zu lösen und besser zu verstehen?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Ersetze im Zähler: [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Ersetze im Zähler: [mm]\sin(2x) \ = \ 2*\sin(x)*\cos(x)[/mm] .
>
>
Erst mal danke für die Antwort,aber ich versteh nicht wie sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) sein kann???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Das ist eine feststehende Formel bzw. in den ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoremen der Winkelfunktionen zu finden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
wenn ich jetzt sin2x=2sinx*cos ersetze hab ich
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{2sinx*cosx}{cosx} dx}
[/mm]
Das cosx kürzt sich weg als bleibt
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{2sinx dx}=[-2cosx] [/mm] ???
lg
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> Hallo,
>
> wenn ich jetzt sin2x=2sinx*cos ersetze hab ich
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{2sinx*cosx}{cosx} dx}[/mm]
>
> Das cosx kürzt sich weg als bleibt
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{2sinx dx}=[-2cosx][/mm] ???
>
> lg
Hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
P.S.: Dieser Thread ist ja der reinste Horror. Poste bitte nie wieder so viele Aufgaben in einer einzigen Diskussion.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Ersetze in dem Produkt: [mm] $\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(x)$ [/mm] .
Anschließend die Klammer ausmultiplizieren und $u \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] substituieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
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> Ersetze in dem Produkt: [mm]\cos^2(x) \ = \ 1-\sin^2(x)[/mm] .
Ok,wenn ich das ersetze hab ich [mm] \integral_{}^{}{sin^{3}x*(1-sin^{2}x)*cosx dx} [/mm] stehen
> Anschließend die Klammer ausmultiplizieren und [mm]u \ := \ \sin(x)[/mm]
> substituieren.
womit soll ich denn die Klammer ausmultiplizieren,nit cosx oder [mm] sin^{3}x [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> womit soll ich denn die Klammer ausmultiplizieren,nit cosx
> oder [mm]sin^{3}x[/mm] ?
Mit [mm] $\sin^3(x)$ [/mm] ... das [mm] $\cos(x)$ [/mm] solltest Du ausgeklammert lassen, da sich dies durch die Substitution herauskürzt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
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> > womit soll ich denn die Klammer ausmultiplizieren,nit cosx
> > oder [mm]sin^{3}x[/mm] ?
>
> Mit [mm]\sin^3(x)[/mm] ... das [mm]\cos(x)[/mm] solltest Du ausgeklammert
> lassen, da sich dies durch die Substitution herauskürzt.
>
ok,ich habs nochmal gemacht und komme zum Schluss auf
[mm] =\integral_{}^{}{sin^{3}x-sin^{5}x dx}=[-cos^{3}x-cos^{5}x] [/mm] ???
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> > > womit soll ich denn die Klammer ausmultiplizieren,nit cosx
> > > oder [mm]sin^{3}x[/mm] ?
> >
> > Mit [mm]\sin^3(x)[/mm] ... das [mm]\cos(x)[/mm] solltest Du ausgeklammert
> > lassen, da sich dies durch die Substitution herauskürzt.
> >
>
> ok,ich habs nochmal gemacht und komme zum Schluss auf
>
> [mm]=\integral_{}^{}{sin^{3}x-sin^{5}x dx}=[-cos^{3}x-cos^{5}x][/mm]
> ???
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> lg
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
>
> > > Hallo Mandy!
> > >
> > >
> > > > womit soll ich denn die Klammer ausmultiplizieren,nit cosx
> > > > oder [mm]sin^{3}x[/mm] ?
> > >
> > > Mit [mm]\sin^3(x)[/mm] ... das [mm]\cos(x)[/mm] solltest Du ausgeklammert
> > > lassen, da sich dies durch die Substitution herauskürzt.
> > >
> >
> > ok,ich habs nochmal gemacht und komme zum Schluss auf
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{sin^{3}x-sin^{5}x dx}=[-cos^{3}x-cos^{5}x][/mm]
> > ???
>
>
> Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
Ich schreib mal meine Rechnung hin,weil ich nicht weiß,wo mein Fehler liegt:
[mm] \integral_{}^{}{sin^{3}x*cos^{3}x dx}
[/mm]
Substitution: z:=sin(x)
[mm] dx=\bruch{1}{cos(x)}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{sin^{3}x*(1-sin^{2}x)*cosx dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{(sin^{3}x-sin^{5}x)*cosx dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{(z^{3}-z^{5})*cosx*\bruch{1}{cos(x)} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{(z^{3}-z^{5}) dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{(sin^{3}x-sin^{5}x) dx}=[-cos^{3}x-cos^{5}x]
[/mm]
Wo liegt denn mein Fehler?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy_90,
> >
> > > > Hallo Mandy!
> > > >
> > > >
> > > > > womit soll ich denn die Klammer ausmultiplizieren,nit cosx
> > > > > oder [mm]sin^{3}x[/mm] ?
> > > >
> > > > Mit [mm]\sin^3(x)[/mm] ... das [mm]\cos(x)[/mm] solltest Du ausgeklammert
> > > > lassen, da sich dies durch die Substitution herauskürzt.
> > > >
> > >
> > > ok,ich habs nochmal gemacht und komme zum Schluss auf
> > >
> > > [mm]=\integral_{}^{}{sin^{3}x-sin^{5}x dx}=[-cos^{3}x-cos^{5}x][/mm]
> > > ???
> >
> >
> > Das musst Du nochmal nachrechnen.
> >
>
> Ich schreib mal meine Rechnung hin,weil ich nicht weiß,wo
> mein Fehler liegt:
> [mm]\integral_{}^{}{sin^{3}x*cos^{3}x dx}[/mm]
>
> Substitution: z:=sin(x)
>
> [mm]dx=\bruch{1}{cos(x)}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{sin^{3}x*(1-sin^{2}x)*cosx dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{(sin^{3}x-sin^{5}x)*cosx dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{(z^{3}-z^{5})*cosx*\bruch{1}{cos(x)} dz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{(z^{3}-z^{5}) dz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{(sin^{3}x-sin^{5}x) dx}=[-cos^{3}x-cos^{5}x][/mm]
>
> Wo liegt denn mein Fehler?
Schau Dir das Integral einer Potenzfunktion an.
>
> lg
>
>
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Substituiere hier: $x \ := \ [mm] \tan(z)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Fassen wie die beiden Brüche mal zusammen:
[mm] $$\bruch{\cos(x)}{x}-\bruch{\sin(x)}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x*\cos(x)-\sin(x)}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos(x)*x-\sin(x)*1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{[\sin(x)]'*x-\sin(x)*x'}{x^2}$$
[/mm]
Damit erinnert der letzte Bruch doch stark an die  Quotientenregel beim Ableiten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Fassen wie die beiden Brüche mal zusammen:
> [mm]\bruch{\cos(x)}{x}-\bruch{\sin(x)}{x^2} \ = \ \bruch{x*\cos(x)-\sin(x)}{x^2} \ = \ \bruch{\cos(x)*x-\sin(x)*1}{x^2} \ = \ \bruch{[\sin(x)]'*x-\sin(x)*x'}{x^2}[/mm]
>
> Damit erinnert der letzte Bruch doch stark an die
> Quotientenregel beim Ableiten.
>
>
Hallo,
ja stimmt,aber ich will es ja aufleiten,ist die Stammfunktion dann [mm] \bruch{-cos(x)}{x} [/mm] ???
lg
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Hallo, die Stammfunktion steht in Loddar's Antwort schon drin, [mm] \bruch{sin(x)}{x}, [/mm] wenn du jetzt ableitest, erhälst du Schritt für Schritt wieder [mm] \bruch{cos(x)}{x}-\bruch{sin(x)}{x^{2}}, [/mm] Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Du meinst wohl das Richtige, schreibst es aber sehr unsauber auf:
[mm] $$\integral{\wurzel{\red{9-2x}} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\wurzel{\red{z}} \ * \ \blue{(-0.5) \ dz}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*z^{\bruch{3}{2}}+c [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*(\red{9-2x})^{\bruch{3}{2}}+c$$
[/mm]
Nun noch die genannten Integrationsgrenzen einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Wende hier partielle Integration an mit:
$$u \ := \ x$$
$$v' \ := \ [mm] \wurzel{5-x} [/mm] \ = \ [mm] (5-x)^{\bruch{1}{2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Wende hier partielle Integration an mit:
>
> [mm]u \ := \ x[/mm]
> [mm]v' \ := \ \wurzel{5-x} \ = \ (5-x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
hab ich gemacht und ich komme auf
[mm] \bruch{2}{3}(5-x)^{\bruch{3}{2}}*x-\bruch{4}{15}(5-x)^{\bruch{5}{2}} [/mm] ???
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Es stimmt fast. Es fehlt nur ganz vorne ein Minuszeichen:
$$F(x) \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{2}{3}*(5-x)^{\bruch{3}{2}}*x-\bruch{4}{15}(5-x)^{\bruch{5}{2}}+c$$
[/mm]
Auch hier nun Grenzen einsetzen ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Es stimmt fast. Es fehlt nur ganz vorne ein Minuszeichen:
> [mm]F(x) \ = \ \red{-} \ \bruch{2}{3}*(5-x)^{\bruch{3}{2}}*x-\bruch{4}{15}(5-x)^{\bruch{5}{2}}+c[/mm]
>
Das versteh ich jetzt nicht,warum muss denn da ein Minus hin?
das war doch die Stammfunktion von [mm] (5-x)^{\bruch{1}{2}},da [/mm] steht doch kein Minus davor???
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Doch, es gilt: [mm] $\integral{(5-x)^{\bruch{1}{2}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{2}{3}*(5-x)^{\bruch{3}{2}}+c$ [/mm] .
Mach' doch mal die Probe und bilde die Ableitung.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Doch, es gilt: [mm]\integral{(5-x)^{\bruch{1}{2}} \ dx} \ = \ \red{-} \ \bruch{2}{3}*(5-x)^{\bruch{3}{2}}+c[/mm]
> .
>
> Mach' doch mal die Probe und bilde die Ableitung.
>
>
Ach jetzt seh ichs,ich hatte eben die innere Ableitung vergessen.^^
danke
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Aufgepasst! Wegen [mm] $\red{x} [/mm] \ = \ [mm] r*\sin(z)$ [/mm] gilt auch:
$$x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] \ = \ [mm] r*\cos(z) [/mm] \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ dx \ = \ [mm] r*\cos(z) [/mm] \ dz$$
Damit wird:
[mm] $$\integral{\wurzel{r^2-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\wurzel{r^2-r^2*\sin^2(z)}*r*\cos(z) \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\wurzel{r^2*\left(1-\sin^2(z)\right)}*r*\cos(z) \ dz} [/mm] \ = \ ...$$
Nun wieder unter der Wurzel [mm] $\cos^2(z) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(z)$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Aufgepasst! Wegen [mm]\red{x} \ = \ r*\sin(z)[/mm] gilt auch:
> [mm]x' \ = \ \bruch{dx}{dz} \ = \ r*\cos(z) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dx \ = \ r*\cos(z) \ dz[/mm]
>
> Damit wird:
> [mm]\integral{\wurzel{r^2-x^2} \ dx} \ = \ \integral{\wurzel{r^2-r^2*\sin^2(z)}*r*\cos(z) \ dz} \ = \ \integral{\wurzel{r^2*\left(1-\sin^2(z)\right)}*r*\cos(z) \ dz} \ = \ ...[/mm]
>
> Nun wieder unter der Wurzel [mm]\cos^2(z) \ = \ 1-\sin^2(z)[/mm]
> einsetzen.
>
>
ok,das hab ich jetzt gemacht,dann komme ich auf
[mm] \integral_{-r}^{r}{r^{2}*cos^{2} dx}
[/mm]
Aber ich hab da immer noch das cos stehen,was soll ich denn damit machen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> [mm]\integral_{-r}^{r}{r^{2}*cos^{2} dx}[/mm]
Bitte sauber aufschreiben und nicht vergessen, die Integrationsgrenzen mit zu substituieren (oder als unbestimmtes Integral lösen, so wie ich jetzt):
[mm] $$\integral{r^2*\cos^2(z) \ d\red{z}} [/mm] \ = \ [mm] r^2*\integral{\cos(z)*\cos(z) \ dz}$$
[/mm]
Nun weiter mit partieller Integration. Wähle:
$$u \ = \ [mm] \cos(z)$$
[/mm]
$$v' \ = \ [mm] \cos(z)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> > [mm]\integral_{-r}^{r}{r^{2}*cos^{2} dx}[/mm]
>
> Bitte sauber aufschreiben und nicht vergessen, die
> Integrationsgrenzen mit zu substituieren (oder als
> unbestimmtes Integral lösen, so wie ich jetzt):
> [mm]\integral{r^2*\cos^2(z) \ d\red{z}} \ = \ r^2*\integral{\cos(z)*\cos(z) \ dz}[/mm]
>
> Nun weiter mit partieller Integration. Wähle:
>
> [mm]u \ = \ \cos(z)[/mm]
> [mm]v' \ = \ \cos(z)[/mm]
>
ok,die Grenzen substituiert man doch in dem man die ursprünglichen Grenzen in x' einsetzt,das hab ich gemacht und komme auf
[mm] =\integral_{r*cos(-r)}^{r*cos(r)}{cos(z)*cos(z) dx}
[/mm]
Das Integral hab ich jetzt mit partieller Integration gelöst:
[mm] =sin(z)*cos(z)-cos^{2}z
[/mm]
Die Grenzen hab ich noch nicht eingesetzt,stimmt das denn so?
lg
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Hall Mandy, wieder als unbestimmtes Integral
[mm] r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}
[/mm]
u=cos(z)
u'=-sin(z)
v'=cos(z)
v=sin(z)
[mm] r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}
[/mm]
[mm] =r^{2}[sin(z)*cos(z)-\integral_{}^{}{-sin(z)*sin(z) dz}]
[/mm]
[mm] =r^{2}[sin(z)*cos(z)+\integral_{}^{}{sin(z)*sin(z) dz}]
[/mm]
jetzt wissen wir [mm] sin^{2}(z)+cos^{2}(z)=1 [/mm] also [mm] sin^{2}(z)=1-cos^{2}(z)
[/mm]
[mm] =r^{2}[sin(z)*cos(z)+\integral_{}^{}{1-cos(z)*cos(z) dz}]
[/mm]
somit haben wir
[mm] r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}\integral_{}^{}{1 dz}-r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}
[/mm]
wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung [mm] r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}
[/mm]
[mm] 2r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}\integral_{}^{}{1 dz}
[/mm]
[mm] 2r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}z
[/mm]
jetzt folgt noch eine kleine Division
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hall Mandy, wieder als unbestimmtes Integral
>
> [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
>
> u=cos(z)
> u'=-sin(z)
> v'=cos(z)
> v=sin(z)
>
> [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
>
> [mm]=r^{2}[sin(z)*cos(z)-\integral_{}^{}{-sin(z)*sin(z) dz}][/mm]
>
> [mm]=r^{2}[sin(z)*cos(z)+\integral_{}^{}{sin(z)*sin(z) dz}][/mm]
>
> jetzt wissen wir [mm]sin^{2}(z)+cos^{2}(z)=1[/mm] also
> [mm]sin^{2}(z)=1-cos^{2}(z)[/mm]
>
> [mm]=r^{2}[sin(z)*cos(z)+\integral_{}^{}{1-cos(z)*cos(z) dz}][/mm]
>
> somit haben wir
>
> [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}\integral_{}^{}{1 dz}-r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
>
> wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung
> [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
>
> [mm]2r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}\integral_{}^{}{1 dz}[/mm]
>
> [mm]2r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}z[/mm]
>
> jetzt folgt noch eine kleine Division
Hallo
Muss man dann durch [mm] r^{2} [/mm] dividieren???
lg
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> > Hall Mandy, wieder als unbestimmtes Integral
> >
> > [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
> >
> > u=cos(z)
> > u'=-sin(z)
> > v'=cos(z)
> > v=sin(z)
> >
> > [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
> >
> > [mm]=r^{2}[sin(z)*cos(z)-\integral_{}^{}{-sin(z)*sin(z) dz}][/mm]
>
> >
> > [mm]=r^{2}[sin(z)*cos(z)+\integral_{}^{}{sin(z)*sin(z) dz}][/mm]
>
> >
> > jetzt wissen wir [mm]sin^{2}(z)+cos^{2}(z)=1[/mm] also
> > [mm]sin^{2}(z)=1-cos^{2}(z)[/mm]
> >
> > [mm]=r^{2}[sin(z)*cos(z)+\integral_{}^{}{1-cos(z)*cos(z) dz}][/mm]
>
> >
> > somit haben wir
> >
> > [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}\integral_{}^{}{1 dz}-r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
>
> >
> > wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung
> > [mm]r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}[/mm]
> >
> > [mm]2r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}\integral_{}^{}{1 dz}[/mm]
>
> >
> > [mm]2r^{2}\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz}=r^{2}sin(z)*cos(z)+r^{2}z[/mm]
>
> >
> > jetzt folgt noch eine kleine Division
>
> Hallo
>
> Muss man dann durch [mm]r^{2}[/mm] dividieren???
Hallo,
wenn Dein Ziel ist, zu wissen, was [mm] 2\integral_{}^{}{cos(z)*cos(z) dz} [/mm] ist, mußt Du noch durch [mm] r^2 [/mm] dividieren.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> d) [mm]z:\wurzel{x}+1[/mm]
> [mm]\bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm]
> [mm]dx=2*\wurzel{x}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2\wurzel{z} dx}[/mm]
Hier schmeisst Du etwas die [mm] $\wurzel{z}$ [/mm] und [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] durcheinander.
Es muss heißen:
$$... \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2*\wurzel{\red{x}} \ d\red{z}}$$
[/mm]
Und aus $z \ = \ [mm] \wurzel{x}+1$ [/mm] folgt doch auch [mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ z-1$ .
Dies nun in o.g. Integral einsetzen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
>
> > d) [mm]z:\wurzel{x}+1[/mm]
> > [mm]\bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm]
> > [mm]dx=2*\wurzel{x}[/mm]
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2\wurzel{z} dx}[/mm]
>
> Hier schmeisst Du etwas die [mm]\wurzel{z}[/mm] und [mm]\wurzel{x}[/mm]
> durcheinander.
> Es muss heißen:
> [mm]... \ = \ \integral{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2*\wurzel{\red{x}} \ d\red{z}}[/mm]
>
> Und aus [mm]z \ = \ \wurzel{x}+1[/mm] folgt doch auch [mm]\wurzel{x} \ = \ z-1[/mm]
> .
> Dies nun in o.g. Integral einsetzen.
ok ich hab das eingesetzt:
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2+(z-1) dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{2z-1}{\wurzel{z}} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{(2z-1)*z^{-\bruch{1}{2}} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{2z^{-\bruch{1}{2}}-z^{-\bruch{1}{2}} dz}=[\bruch{4}{3}*(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-2*(\wurzel{x}+1)^{\bruch{1}{2}}] [/mm] ???
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> >
> > > d) [mm]z:\wurzel{x}+1[/mm]
> > > [mm]\bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm]
> > > [mm]dx=2*\wurzel{x}[/mm]
> > >
> > > [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2\wurzel{z} dx}[/mm]
>
> >
> > Hier schmeisst Du etwas die [mm]\wurzel{z}[/mm] und [mm]\wurzel{x}[/mm]
> > durcheinander.
> > Es muss heißen:
> > [mm]... \ = \ \integral{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2*\wurzel{\red{x}} \ d\red{z}}[/mm]
>
> >
> > Und aus [mm]z \ = \ \wurzel{x}+1[/mm] folgt doch auch [mm]\wurzel{x} \ = \ z-1[/mm]
> > .
> > Dies nun in o.g. Integral einsetzen.
>
> ok ich hab das eingesetzt:
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2+(z-1) dz}[/mm]
Das muß heißen:
[mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2 \ \blue{*} \ (z-1) \ dz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{2z-1}{\wurzel{z}} dz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{(2z-1)*z^{-\bruch{1}{2}} dz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{2z^{-\bruch{1}{2}}-z^{-\bruch{1}{2}} dz}=[\bruch{4}{3}*(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-2*(\wurzel{x}+1)^{\bruch{1}{2}}][/mm]
> ???
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Das muß heißen:
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2 \ \blue{*} \ (z-1) \ dz}[/mm]
>
Das hab ich auch so gerechnet,ich hab mich da nur verschrieben,hab ausversehen + anstatt * eingetippt,stimmt meine obige Rechnung?
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Hallo Mandy_90,
>
> > Das muß heißen:
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}*2 \ \blue{*} \ (z-1) \ dz}[/mm]
>
> >
>
> Das hab ich auch so gerechnet,ich hab mich da nur
> verschrieben,hab ausversehen + anstatt * eingetippt,stimmt
> meine obige Rechnung?
Statt mit [mm]2*\left(z-1\right)[/mm] weiterzurechnen, hast Du mit [mm]2z-1[/mm] weitergerechnet.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Statt mit [mm]2*\left(z-1\right)[/mm] weiterzurechnen, hast Du mit
> [mm]2z-1[/mm] weitergerechnet.
>
Ja stimmt,dann muss ich also folgendes Integral berechnen;
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2z-2}{\wurzel{2}} dz}
[/mm]
Das kann ich auch so hinschreiben:
[mm] =\integral_{}^{}{(2z-2)*z^{-0.5} dz}
[/mm]
Kann ich das mit partieller Integration lösen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Ja, das könnte man mittels partieller Integration lösen. Einfacher geht es jedoch, wenn Du hier erst die Klammer ausmultiplizierst und zusammenfasst.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Wenn ichs ausklammere hab ich [mm] (2z-2)*z^{-0.5}=2z^{0.5}-2z^{-0.5}
[/mm]
Aber wie kann ich das denn noch zusammenfassen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Das sieht richtig aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber Du kannst Deine Ergebnisse auch immer selbst überprüfen, indem Du Deine Stammfunktion wieder ableitest. Da sollte dann wieder die Ausgangsfunktion herauskommen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Forme den Bruch erst um:
[mm] $$\bruch{1}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\bruch{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2+1 [/mm] \ = \ [mm] 1+\tan^2(x)$$
[/mm]
Nun $z \ := \ [mm] \tan(x)$ [/mm] substituieren.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Derselbe Fehler wie schon weiter oben ...
> g) [mm]z:4+x^{2}[/mm]
> [mm]\bruch{dz}{dx}=2x[/mm]
> dx=0.5x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{2x}$
[/mm]
Und damit kürzt sich das $x_$ beim Einsetzen in das Integral raus.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Derselbe Fehler wie schon weiter oben ...
>
> > g) [mm]z:4+x^{2}[/mm]
> > [mm]\bruch{dz}{dx}=2x[/mm]
> > dx=0.5x
>
> [mm]dx \ = \ \bruch{dz}{2x}[/mm]
> Und damit kürzt sich das
> [mm]x_[/mm] beim Einsetzen in das Integral raus.
>
>
stimmt,dann ist [mm] dx=\bruch{1}{2x}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{x}{z^{2}}*\bruch{1}{2x} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{2z^{-2} dx}=\integral_{}^{}{2(4+x^{2})^{-2} dx}=[\bruch{1}{x}*(4+x^{2})^{-2}*2x]
[/mm]
Wenn ich das aber ableite,kommt was anderes raus,ich weiß nicht wo mein Fehler liegt...???
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> > Derselbe Fehler wie schon weiter oben ...
> >
> > > g) [mm]z:4+x^{2}[/mm]
> > > [mm]\bruch{dz}{dx}=2x[/mm]
> > > dx=0.5x
> >
> > [mm]dx \ = \ \bruch{dz}{2x}[/mm]
> > Und damit kürzt sich
> das
> > [mm]x_[/mm] beim Einsetzen in das Integral raus.
> >
> >
>
> stimmt,dann ist [mm]dx=\bruch{1}{2x}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{x}{z^{2}}*\bruch{1}{2x} dz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{2z^{-2} dx}=\integral_{}^{}{2(4+x^{2})^{-2} dx}=[\bruch{1}{x}*(4+x^{2})^{-2}*2x][/mm]
>
> Wenn ich das aber ableite,kommt was anderes raus,ich weiß
> nicht wo mein Fehler liegt...???
Erstens heißt das
[mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2z^{2}} \ dz}[/mm]
Und zweitens schau Dir mal das Integral einer Potenzfunktion an.
>
> lg
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
>
> > > Hallo Mandy!
> > >
> > >
> > > Derselbe Fehler wie schon weiter oben ...
> > >
> > > > g) [mm]z:4+x^{2}[/mm]
> > > > [mm]\bruch{dz}{dx}=2x[/mm]
> > > > dx=0.5x
> > >
> > > [mm]dx \ = \ \bruch{dz}{2x}[/mm]
> > > Und damit kürzt
> sich
> > das
> > > [mm]x_[/mm] beim Einsetzen in das Integral raus.
> > >
> > >
> >
> > stimmt,dann ist [mm]dx=\bruch{1}{2x}[/mm]
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{x}{z^{2}}*\bruch{1}{2x} dz}[/mm]
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{2z^{-2} dx}=\integral_{}^{}{2(4+x^{2})^{-2} dx}=[\bruch{1}{x}*(4+x^{2})^{-2}*2x][/mm]
>
> >
> > Wenn ich das aber ableite,kommt was anderes raus,ich weiß
> > nicht wo mein Fehler liegt...???
>
> Erstens heißt das
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2z^{2}} \ dz}[/mm]
>
> Und zweitens schau Dir mal das
> Integral einer Potenzfunktion
> an.
>
Aber ist [mm] 2z^{-2} [/mm] nicht das selbe wie [mm] \bruch{1}{2z^{2}} [/mm] ?
Ich hab mir das angeschaut,aber wie soll ich das denn auf den Bruch anwenden?
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy_90,
> >
> > > > Hallo Mandy!
> > > >
> > > >
> > > > Derselbe Fehler wie schon weiter oben ...
> > > >
> > > > > g) [mm]z:4+x^{2}[/mm]
> > > > > [mm]\bruch{dz}{dx}=2x[/mm]
> > > > > dx=0.5x
> > > >
> > > > [mm]dx \ = \ \bruch{dz}{2x}[/mm]
> > > > Und damit
> kürzt
> > sich
> > > das
> > > > [mm]x_[/mm] beim Einsetzen in das Integral raus.
> > > >
> > > >
> > >
> > > stimmt,dann ist [mm]dx=\bruch{1}{2x}[/mm]
> > >
> > > [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{x}{z^{2}}*\bruch{1}{2x} dz}[/mm]
> >
> >
> > > [mm]=\integral_{}^{}{2z^{-2} dx}=\integral_{}^{}{2(4+x^{2})^{-2} dx}=[\bruch{1}{x}*(4+x^{2})^{-2}*2x][/mm]
>
> >
> > >
> > > Wenn ich das aber ableite,kommt was anderes raus,ich weiß
> > > nicht wo mein Fehler liegt...???
> >
> > Erstens heißt das
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2z^{2}} \ dz}[/mm]
> >
> > Und zweitens schau Dir mal das
> > Integral einer Potenzfunktion
> > an.
> >
>
> Aber ist [mm]2z^{-2}[/mm] nicht das selbe wie [mm]\bruch{1}{2z^{2}}[/mm] ?
Nein, [mm]\bruch{1}{2z^{2}}=\bruch{1}{2}*z^{-2}[/mm]
>
> Ich hab mir das angeschaut,aber wie soll ich das denn auf
> den Bruch anwenden?
Wähle hier dann [mm]n=-2[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> j) z:9-x
> [mm]\bruch{dz}{dx}=-1[/mm]
> dx=-1
>
> [mm]=\integral_{0}^{9}{\bruch{x}{\wurzel{z}}*-1 dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{9}{-\bruch{x}{\wurzel{z}} dx}[/mm]
Aus $z \ = \ 9-x$ folgt doch: $x \ = \ z+9$ . Dies in das Integral einsetzen.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Außerdem musst Du auch immer die Integrationsgrenzen mit ersetzen bei Substitutions-Integralen.
Oder Du löst die Aufgaben erst als unbestimmte Integrale und resubstituierst am Ende wieder.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> > j) z:9-x
> > [mm]\bruch{dz}{dx}=-1[/mm]
> > dx=-1
> >
> > [mm]=\integral_{0}^{9}{\bruch{x}{\wurzel{z}}*-1 dx}[/mm]
> >
> > [mm]=\integral_{0}^{9}{-\bruch{x}{\wurzel{z}} dx}[/mm]
>
> Aus [mm]z \ = \ 9-x[/mm] folgt doch: [mm]x \ = \ z+9[/mm] . Dies in das
> Integral einsetzen.
>
ok,wenn ich das ins Integral einsetze,ausmultipliziere und rücksubstituiere hab ich
[mm] =\integral_{0}^{9}{-10z^{0.5} dz}=[-\bruch{20}{3}*(9-x)^{\bruch{3}{2}} [/mm]
> Außerdem musst Du auch immer die
> Integrationsgrenzen mit ersetzen bei
> Substitutions-Integralen.
Das macht man doch,in dem man die Integrationsgrenzen in [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] einsetzt aber hier ist das =-1,wie soll ich das denn einsetzen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Die ist wirklich "lecker" diese Aufgabe. Beginnen wir zunächst mit einer partiellen Integration:
[mm] $$\integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x*\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}$$
[/mm]
Wähle:
$$u \ := \ x$$
$$v' \ := \ [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}$$
[/mm]
Um $v_$ zu bestimmen musst Du den Term unter der Wurzel substituieren.
Für das neu entstehende Integral bei der partiellen Integration solltest Du dann mal Richtung Aufgabe c.) schielen ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 11.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Die ist wirklich "lecker" diese Aufgabe. Beginnen wir
> zunächst mit einer partiellen Integration:
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}} dx} \ = \ \integral{x*\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
> Wähle:
> [mm]u \ := \ x[/mm]
> [mm]v' \ := \ \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
> Um [mm]v_[/mm] zu
> bestimmen musst Du den Term unter der Wurzel
> substituieren.
Also ich hab jetzt zuerst u=x und [mm] v'=\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
Jetzt substituiere ich [mm] z:=1-x^{2} [/mm] und habe v'= [mm] \bruch{x}{\wurzel{z}}=xz^{-\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Jetzt wende ich die partielle Integration an:
[mm] =2xz^{\bruch{1}{2}}*x-\integral_{}^{}{2zx^{\bruch{1}{2}}*1 dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x^{2}}{\wurzel{1-x^{2}}}-\bruch{4}{3}x*(1-x^{2})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Das sieht ziemlich unschön aus,da ist bestimmt irgendwo ein Fehler....???
> Für das neu entstehende Integral bei der partiellen
> Integration solltest Du dann mal Richtung Aufgabe c.)
> schielen ...
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mandy!
Kümmern wir uns zunächst um das eine Teilintegral ... $v' \ := \ \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}$ .
Wir substituieren also: $z \ := \ 1-x^2$
$$\Rightarrow \ z' \ = \ \bruch{dz}{dx} \ = \ -2x \ \ \ \ \gdw \ \ \ \ \ dx \ = \ \bruch{dz}{-2x}$$
$$\Rightarrow \ \integral{\bruch{x}{\wurzel{\red{1-x^2}}} \ \blue{dx}} \ = \ \integral{\bruch{x}{\wurzel{\red{z}}} \ \blue{\bruch{dz}{-2x}}} \ = \ -\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{\wurzel{z}} \ dz} \ = \ -\bruch{1}{2}*\integral{z^{-\bruch{1}{2}} \ dz} \ = \ -\bruch{1}{2}*2*z^{\bruch{1}{2}} \ = \ -\wurzel{z} \ = \ -\wurzel{1-x^2}$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Kümmern wir uns zunächst um das eine Teilintegral ... [mm]v' \ := \ \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
> .
>
>
> Wir substituieren also: [mm]z \ := \ 1-x^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \ z' \ = \ \bruch{dz}{dx} \ = \ -2x \ \ \ \ \gdw \ \ \ \ \ dx \ = \ \bruch{dz}{-2x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \ \integral{\bruch{x}{\wurzel{\red{1-x^2}}} \ \blue{dx}} \ = \ \integral{\bruch{x}{\wurzel{\red{z}}} \ \blue{\bruch{dz}{-2x}}} \ = \ -\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{\wurzel{z}} \ dz} \ = \ -\bruch{1}{2}*\integral{z^{-\bruch{1}{2}} \ dz} \ = \ -\bruch{1}{2}*2*z^{\bruch{1}{2}} \ = \ -\wurzel{z} \ = \ -\wurzel{1-x^2}[/mm]
>
>
ok,vielen dank erst mal,ich hab jetzt mit partieller Integration weitergerechnet und komme auf
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}=-(1-x^{2})^{0.5}*x+\bruch{2}{3}*(1-x^{2})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Ist das so in Ordnung?
lg
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Hallo, der 1. Summand ist korrekt
[mm] -x*\wurzel{1-x^{2}}+\integral_{}^{}{\wurzel{1-x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] =-x*\wurzel{1-x^{2}}+\bruch{x}{2}\wurzel{1-x^{2}}+\bruch{1}{2}arcsin(x)
[/mm]
zur Lösung von [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1-x^{2}} dx} [/mm] kannst du wunderbar die Aufgabe c) benutzen,
Steffi
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