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| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, \mathcal{A},\mu)[/mm] ein Massraum. Sei [mm] f:\Omega \rightarrow [0,\infty] [/mm] messbar. Man definiere die fallende Umordnung von [mm] f [/mm] als die Funktion [mm] g:[0,\infty) \rightarrow [0;\infty,], g(t):=\mu ( \lbrace x\in \Omega:f(x)\geq t \rbrace. [/mm]. Zeigen Sie:
a) [mm] g [/mm] ist Borel-messbar.
b) [mm] \int_{\Omega} f d\mu = \int_{[0,\infty)}g d\lambda [/mm] |
Zu a)
ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube ich soll irgendwie zeigen, dass die Menge [mm] \lbrace x\in \Omega:f(x)\geq [/mm] t [mm] \rbrace [/mm] in der sigma algebra [mm]\mathcall{A}[/mm] liegt, oder? Wie mache ich das?
b) Ich habe den Assistenten gefragt und er sagte, ich soll die Aussage zuerst fuer einfache Funktionen zeigen. Wie soll das gehen? Ich weiss, da [mm]f[/mm] messbar ist existiert eine Folge mit der Eigenschaft, dass [mm] f(x)=\lim_{n\to \infty} f_n(x) [/mm] mit [mm]f_1(x)\leq f_2(x)\leq ...[/mm] wie aber nutze ich das?
Dann soll ich eine beliebige messbare funktion [mm] f:\Omega \rightarrow [0,\infty] [/mm] mit einer Folge von einfachen Funktionen approximieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 23.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](\Omega, \mathcal{A},\mu)[/mm] ein Massraum. Sei [mm]f:\Omega \rightarrow [0,\infty][/mm]
> messbar. Man definiere die fallende Umordnung von [mm]f[/mm] als die
> Funktion [mm]g:[0,\infty) \rightarrow [0;\infty,], g(t):=\mu ( \lbrace x\in \Omega:f(x)\geq t \rbrace. [/mm].
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]g[/mm] ist Borel-messbar.
> b) [mm]\int_{\Omega} f d\mu = \int_{[0,\infty)}g d\lambda[/mm]
> Zu
> a)
>
> ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube ich soll
> irgendwie zeigen, dass die Menge [mm]\lbrace x\in \Omega:f(x)\geq[/mm]
> t [mm]\rbrace[/mm] in der sigma algebra [mm]\mathcall{A}[/mm] liegt, oder?
Nein, Du musst diese Mengen unter die Lupe nehmen:
[mm]\lbrace x\in \Omega:g(x)\geq[/mm] t [mm]\rbrace[/mm]
>
> b) Ich habe den Assistenten gefragt und er sagte, ich soll
> die Aussage zuerst fuer einfache Funktionen zeigen. Wie
> soll das gehen?
Der Assi meint, dass Du zerst den Fall "f ist einfach" bearbeiten sollst.
FRED
> Ich weiss, da [mm]f[/mm] messbar ist existiert eine
> Folge mit der Eigenschaft, dass [mm]f(x)=\lim_{n\to \infty} f_n(x)[/mm]
> mit [mm]f_1(x)\leq f_2(x)\leq ...[/mm] wie aber nutze ich das?
>
> Dann soll ich eine beliebige messbare funktion [mm]f:\Omega \rightarrow [0,\infty][/mm]
> mit einer Folge von einfachen Funktionen approximieren.
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