Integralformel für Ableitungen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Do 24.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Integralformel von Cauchy für Ableitungen. Die Kurven seien dabei positiv orientiert.
a) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}
[/mm]
c) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}} [/mm] |
Hallo! Wäre nett wenn jemand dazu sagen könnte ob es soweit richtig ist, oder wo meine Fehler liegen. Hier die Integralformel für Ableitungen: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
a) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{(z-0)^{3+1}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (exp(0)-exp(0))''}{3!}=0
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (sin^2(0))''}{2!}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (2*(cos^2(0)-sin^2(0))}{2}=cos^2(0)=1
[/mm]
c) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * sin^{(65)}(0)}{65!}=\bruch{cos(0)}{65!}=\bruch{1}{65!}
[/mm]
Passt das so?
Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der
> Integralformel von Cauchy für Ableitungen. Die Kurven
> seien dabei positiv orientiert.
>
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}[/mm]
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> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}[/mm]
>
> Hallo! Wäre nett wenn jemand dazu sagen könnte ob es
> soweit richtig ist, oder wo meine Fehler liegen. Hier die
> Integralformel für Ableitungen:
> Wikipedia
>
>
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{(z-0)^{3+1}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (exp(0)-exp(0))''}{3!}=0[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (sin^2(0))''}{2!}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (2*(cos^2(0)-sin^2(0))}{2}=cos^2(0)=1[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * sin^{(65)}(0)}{65!}=\bruch{cos(0)}{65!}=\bruch{1}{65!}[/mm]
>
> Passt das so?
Ja
FRED
>
> Vielen Dank und liebe Grüße,
> chesn
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:25 Do 24.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo
> Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der
> Integralformel von Cauchy für Ableitungen. Die Kurven
> seien dabei positiv orientiert.
>
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}[/mm]
>
> Hallo! Wäre nett wenn jemand dazu sagen könnte ob es
> soweit richtig ist, oder wo meine Fehler liegen. Hier die
> Integralformel für Ableitungen:
> Wikipedia
>
>
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{(z-0)^{3+1}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (exp(0)-exp(0))''}{3!}=0[/mm]
Ich verstehe hier nicht warum du [mm] 2\pi i [/mm] nochmal in den Zähler schreibst. Du benutzt doch: [mm] \frac{f^{(n)}(c)}{n!} = \frac{1}{2 \pi i} \integral_{B_1(0)}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}[/mm].
Und wenn du [mm] e^z-e^{-z} [/mm] dreimal ableitest erhälst du [mm] (e^z-e^{-z})'''=(e^z+e^{-z})''=(e^z-e^{-z})'=e^z+e^{-z} [/mm] 0 Einsetzen liefert 2. Ich bring also [mm] \frac{1}{3 \pi i} [/mm] raus. Hab ich einen Denkfehler? Bei den anderen Aufgaben genauso.
> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (sin^2(0))''}{2!}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (2*(cos^2(0)-sin^2(0))}{2}=cos^2(0)=1[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * sin^{(65)}(0)}{65!}=\bruch{cos(0)}{65!}=\bruch{1}{65!}[/mm]
>
> Passt das so?
>
> Vielen Dank und liebe Grüße,
> chesn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Do 24.05.2012 | | Autor: | chesn |
Kann natürlich auch sein, dass ich es falsch verstanden habe.. sieht sinnvoller aus was du da machst, vielen Dank! :)
Gruß
chesn
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Fr 25.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Wenn du es aber so machst, dann ist doch
$ [mm] \bruch{1}{2\pi i}\cdot{}\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{ exp(0)+exp(0)}{3!}=\bruch{1}{3} [/mm] $
Denn in
$ [mm] \frac{f^{(n)}(c)}{n!} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi i} \integral_{B_1(0)}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}} [/mm] $
steht doch auf der linken Seite kein [mm] \bruch{1}{2\pi i} [/mm] mehr oder sehe ich das falsch?
Gruß,
chesn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 25.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Wenn du es aber so machst, dann ist doch
>
> [mm]\bruch{1}{2\pi i}\cdot{}\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{ exp(0)+exp(0)}{3!}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Denn in
>
> [mm]\frac{f^{(n)}(c)}{n!} = \frac{1}{2 \pi i} \integral_{B_1(0)}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}[/mm]
>
> steht doch auf der linken Seite kein [mm]\bruch{1}{2\pi i}[/mm] mehr
> oder sehe ich das falsch?
Nein, Du siehst das richtig
Ich hab oben nicht genau hingesehen
FRED
>
> Gruß,
> chesn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Fr 25.05.2012 | | Autor: | teo |
Meinte ich auch! Entschuldigung..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 08.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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