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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Do 19.03.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Bestimme die Funktion f [mm] \in C[0,\pi], [/mm] die folgender Integralgleichung genügt:
f(x) - [mm] \lambda \int_0^{\pi} [/mm] sin(x+y) f(y) dy = 1. |
Hallo,
könnt ihr mir helfen diese Integralgleichung zu lösen'? Das ist doch so eine von Fredholm, oder?
Wir hatten anscheinend ohne die Allgemeinheit zu beschränken für [mm] \lambda=-1 [/mm] gezeigt, dass dann gilt f = [mm] (I-T_k)^{-1} [/mm] g = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} T_k^n [/mm] g. Das ging mit der Neumannschen Reihe.
Allerdings brauch ich glaub ich ein Anfangstip.
Gilt es, dass [mm] T_k [/mm] f(x) = [mm] \int_0^{\pi} [/mm] sin(x+y) f(y) dy ist?
Muss ich dann noch zeigen, dass [mm] \|T_k\| [/mm] < 1 ?
.... und kann man f wirklich explizit ausrechnen...???
Freu mich über alle Hinweise.
Viele Grüße,
Riley
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Ich kenne mich mit Integralgleichungen nicht aus. Unterstellt man aber, daß [mm]f[/mm] mindestens zweimal differenzierbar ist, so findet man durch Ableiten:
[mm]f''(x) + \lambda \int_0^{\pi} \sin(x+y) f(y)~\mathrm{d}y = 0[/mm]
Ein Vergleich mit der gegebenen Integralgleichung zeigt, daß [mm]u = f(x)[/mm] die Differentialgleichung
[mm]u'' + u - 1 = 0[/mm]
erfüllen muß. Die Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung sind bekannt, eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist unmittelbar ablesbar und ziemlich trivial. Mit Hilfe zweier Parameter lassen sich somit alle Lösungen der Differentialgleichung angeben.
Jetzt führt man an der Integralgleichung die Probe durch, um die richtigen Parameter zu bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Hinweise! Das mit den Diffglg muss ich erst mal überlegen, aber ich hab zuvor noch eine Frage. Wie kommst du durch Ableiten auf diese Gleichung? Warum bleibt das Integral?
Viele Grüße & vielen Dank
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
Bedenka, das in dem Integral nach der varibalen y integriert wird. Beim Ableiten lautet die entsprechende Variable jedoch x.
Daher bleibt das bestimmte Integral nach y immer noch beim Ableiten nach x erhalten (da auch x innerhalb der Integrales auftritt).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 24.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ah dankeschön - jetzt versteh ich das!  Auf die DGL kommt man dann durch Addieren der beiden Gleichungen, richtig?
Die homogene DGL ist doch diese hier
u''(x) + u(x) - 1 = 0,
unter welchem Namen sind die Lösungen bekannt, oder wie kann ich sie herausfinden? Ist es etwas mit sin oder cos ?
Und was ist die inhomogene, auf der rechten Seite steht doch immer eine Null?
Oder das hier: u''(x) + u(x) = 1 ?
Und alle Lösungen sind dann gegeben durch alle homogenen Lösungen und eine inhomogene...
Könnt ihr mir mit den Lösungen der DGL bitte nochmal weiterhelfen?
Viele Grüße,
Riley
edit: Ich glaube ich habe das etwas durcheinander gebracht. Ist die homogene DGL also
u''(x) + u(x) = 0
und die inhomogene
u''(x) + u(x) = 1 ?
Dann würde erstere von cos(x) und sin(x) gelöst und die inhomogene von der Konstanten Funktion u(x) = 1 ??
Aber das ist auch komisch...
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Hallo Riley,
> Hallo,
> ah dankeschön - jetzt versteh ich das! Auf die DGL
> kommt man dann durch Addieren der beiden Gleichungen,
> richtig?
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> Die homogene DGL ist doch diese hier
> u''(x) + u(x) - 1 = 0,
>
> unter welchem Namen sind die Lösungen bekannt, oder wie
> kann ich sie herausfinden? Ist es etwas mit sin oder cos ?
> Und was ist die inhomogene, auf der rechten Seite steht
> doch immer eine Null?
> Oder das hier: u''(x) + u(x) = 1 ?
> Und alle Lösungen sind dann gegeben durch alle homogenen
> Lösungen und eine inhomogene...
>
> Könnt ihr mir mit den Lösungen der DGL bitte nochmal
> weiterhelfen?
>
> Viele Grüße,
> Riley
>
> edit: Ich glaube ich habe das etwas durcheinander gebracht.
> Ist die homogene DGL also
> u''(x) + u(x) = 0
> und die inhomogene
> u''(x) + u(x) = 1 ?
>
> Dann würde erstere von cos(x) und sin(x) gelöst und die
> inhomogene von der Konstanten Funktion u(x) = 1 ??
Ja, das ist richtig.
Somit ist
[mm]u\left(x\right)=C_{1}*\sin\left(x\right)+C_{2}*\cos\left(x\right)+1[/mm]
> Aber das ist auch komisch...
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich habe gerade im Heuser gelesen, dass obige Integralgleichunggelöst wird für [mm] |\lambda| [/mm] < 2 / [mm] \pi [/mm] durch folgende Funktion:
f(s) = 1 + [mm] \frac{2 \lambda cos(s) + \lambda^2 \pi sin(s)}{1 - \lambda^2 \pi^2/4}.
[/mm]
Vielleicht hilft das ja auf dem Weg der Lösung...?
Eine andere Frage, kann es außer dieser Lösung noch andere geben, für anderes [mm] \lambda [/mm] ?
Viele Grüße,
Riley
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Du mußt nur mit dem Ansatz
[mm]f(x) = 1 + a \cos x + b \sin x[/mm]
in die Integralgleichung gehen und rechnen. Wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm]\cos[/mm] und [mm]\sin[/mm] bekommst du durch Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem in [mm]a,b[/mm], aus dem sich diese Größe bestimmen lassen.
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