Integralgleichung Banachraum < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] h:[0,\pi] \rightarrow \IR [/mm] stetig also h [mm] \in C([0,\pi]). [/mm] Zeigen sie dass die Integralgleichung
[mm] f(x)=h(x)+\bruch{2}{5}*\integral_{0}^{\pi}{f(y)*\cos(x-y) dy} [/mm] eine Eindeutige Lösung im Banachraum [mm] (C([0,\pi]), ||.||_{\infty}) [/mm] besitzt wobei [mm] ||g||_{\infty} [/mm] = [mm] max_{x\in [0,\pi]} [/mm] |g(x)| |
Guten Tach.
Als Hinweis zur obigen AUfgabe ist gegeben das der Banachsche Fixpunktsatz auch im Banachraum gilt. Man muss also zeigen dass die Funktionenfolge
[mm] f_{k+1}(x)=h(x)+\bruch{2}{5}*\integral_{0}^{\pi}{f_{k}(y)*\cos(x-y) dy} [/mm] gegen eine Funktion im Banachraum konvergiert. Das Intervall ist abgeschlossen also ist eine Bedingung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Jetzt muss ich aber zeigen dass f eine Lipschitzbedingung erfüllt. Das tut es dann wenn es stetig diff-bar ist. Aber ich kann ja die rechte seite nicht differenzieren weil ich nicht weiß ob h(x) differenzierbar ist. Ist zwar stetig muss ja aber nicht differenzierbar sein. Wie kann ich beweisen dass f lipschitz ist? oder was gibt es noch für möglichkeiten die Aufgabe zu beweisen.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Do 06.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich habe jetzt keine Zeit die Aufgabe zu lösen, aber ich habe Zeit Dir einen Tipp zu geben:
Ich würde mir einen Operator konstruieren, der h auf deine Integralgleichung auf der rechten Seite abbildet. (Ich weiß aber nicht, on das klappt)
Du musst doch für den Banach'schen Fixpunktsatz eine Kontraktionseigenschaft für eine Selbstabbildung zeigen. Das tust du aber gar nicht. Verstehst Du, was ich meine? Schaue mal hier
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Banachscher_Fixpunktsatz
Du musst Dir (denke ich zumindest) eine Selbstabbildung z.B. [mm] $S:C([0,\pi])\longrightarrow C([0,\pi])$ [/mm] konstruieren, die $h$ auf die Integralgleichung abbildet. Dann zeige, erstens, dass das Bild von [mm] $C([0,\pi])$ [/mm] in [mm] $C([0,\pi])$ [/mm] liegt [mm] ($\Longrightarrow$ [/mm] Selbstabbildung) und anschließend die Kontraktionseigenschaft für Funktionen $h$ aus [mm] $C(0,\pi)$ [/mm] bezüglich der Supremumsnorm. Der BAnachsche Fixpunktsatz gibt dir dann die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes.
Gruß Denny
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Ich habe mir jetzt was überlegt mal schauen ob das stimmt.
Also ich mache induktion über k um zu zeigen dass [mm] ||f_{k+1}(x) [/mm] - [mm] f_{k}(x)||\le (\bruch{2}{5})^{k}*M*\pi^{k}.
[/mm]
Zuerst setzte ich voraus dass [mm] ||f||\le [/mm] M da f stetig und auf eine Kompakten Menge nimmt f das maximum auch an.
Also induktionsanfang k=0
[mm] ||f_{1}-f_{0}|| [/mm] = [mm] ||\bruch{2}{5}* \integral_{0}^{\pi}{f_{0}(y)\cos(x-y) dy}|| \le \bruch{2}{5}* \integral_{0}^{\pi} {||f_{0}(y)\cos(x-y)||dy} \le M*\bruch{2}{5}*\pi.
[/mm]
Induktionsschritt k-1 [mm] \rightarrow [/mm] k
[mm] ||f_{k+1}-f_{k}|| [/mm] = [mm] ||\bruch{2}{5}\integral_{0}^{\pi}{f_{k}(y)\cos(x-y) dy}- \bruch{2}{5}\integral_{0}^{\pi}{f_{k-1}(y)\cos(x-y) dy}|| \le \bruch{2}{5}\integral_{0}^{\pi}{||(f_{k}(y)-f_{k-1}(y))cos(x-y)|| dy} \le \bruch{2}{5}*\integral_{0}^{\pi}{(\bruch{2}{5})^{k}*M*\pi^{k} dy} \le (\bruch{2}{5})^{k+1}*M*\pi^{k+1}
[/mm]
Dann kann ich das Weißerstraß'sche Konvergenzkriterium verwenden und
[mm] f:=\limes_{k\rightarrow\infty}f_{k}= \summe_{k=1}^{\infty} (f_{k}-f_{k-1}) [/mm]
Geht das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Fr 07.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe mir jetzt was überlegt mal schauen ob das stimmt.
>
> Also ich mache induktion über k um zu zeigen dass
> [mm]||f_{k+1}(x)[/mm] - [mm]f_{k}(x)||\le (\bruch{2}{5})^{k}*M*\pi^{k}.[/mm]
>
> Zuerst setzte ich voraus dass [mm]||f||\le[/mm] M da f stetig und
> auf eine Kompakten Menge nimmt f das maximum auch an.
> Also induktionsanfang k=0
> [mm]||f_{1}-f_{0}||[/mm] = [mm]||\bruch{2}{5}* \integral_{0}^{\pi}{f_{0}(y)\cos(x-y) dy}|| \le \bruch{2}{5}* \integral_{0}^{\pi} {||f_{0}(y)\cos(x-y)||dy} \le M*\bruch{2}{5}*\pi.[/mm]
Richtige Idee, fehlerhafte Ausführung. Du konstruierst eine Folge, die gegen die Lösung kovergiert. Soweit OK. Aber deine Abschätzung hier ist falsch:
[mm]\|f_1-f_0\| = \left\| \bruch{2}{5}* \integral_{0}^{\pi}{f_{0}(y)\cos(x-y) dy} \red{-f_0}\right\| [/mm]
Da ist ein Term unter den Tisch gefallen. Aber nehmen wir an, dass [mm]M:=\|f_0\|[/mm]:
[mm] \le \left\| \bruch{2}{5}* \integral_{0}^{\pi}{f_{0}(y)\cos(x-y) dy}\right\| + \|f_0\| \le M*\bruch{2}{5}*\pi + M [/mm]
Das wäre noch nicht so schlimm.
Aber hier:
> Induktionsschritt k-1 [mm]\rightarrow[/mm] k
> [mm]||f_{k+1}-f_{k}||[/mm] =
> [mm]||\bruch{2}{5}\integral_{0}^{\pi}{f_{k}(y)\cos(x-y) dy}- \bruch{2}{5}\integral_{0}^{\pi}{f_{k-1}(y)\cos(x-y) dy}|| \le \bruch{2}{5}\integral_{0}^{\pi}{||(f_{k}(y)-f_{k-1}(y))cos(x-y)|| dy} \le \bruch{2}{5}*\integral_{0}^{\pi}{(\bruch{2}{5})^{k}*M*\pi^{k} dy} \le (\bruch{2}{5})^{k+1}*M*\pi^{k+1}[/mm]
Das Problem hier ist, dass [mm]\bruch{2}{5}\pi > 1[/mm] und damit die Kontraktionseigenschaft nicht bewiesen ist.
Du musst geschickter abschätzen. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es ein [mm]\xi\in[0,\pi][/mm], sodass gilt:
[mm] \|f_{k+1}-f_{k}\| = \left\|\bruch{2}{5}\integral_{0}^{\pi}({f_{k}(y)-f_{k-1}(y))\cos(x-y) dy}\right\|
= \left\|\bruch{2}{5} (f_{k}(\xi)-f_{k-1}(\xi)) \integral_{0}^{\pi} {\cos(x-y) dy} \right\| = \left\|\bruch{2}{5} |f_{k}(\xi)-f_{k-1}(\xi)| * 2 |\sin x| \right\| \le \bruch{4}{5} \|f_{k}-f_{k-1}\| [/mm]
> Dann kann ich das Weißerstraß'sche Konvergenzkriterium
> verwenden und
> [mm]f:=\limes_{k\rightarrow\infty}f_{k}= \summe_{k=1}^{\infty} (f_{k}-f_{k-1})[/mm]
Das brauchst du gar nicht mal, du willst den Fixpunktsatz ja nicht noch beweisen. Die Abschätzung gilt für beliebige Funktionen, also ist die Abbildung kontrahierend und hat einen Fixpunkt. Daher konvergiert die rekursiv definierte Folge
[mm] f_{k+1}(x) = \bruch{2}{5}* \integral_{0}^{\pi}{f_{k}(y)\cos(x-y) dy} [/mm]
für beliebige Startwerte gegen den Fixpunkt.
Viele Grüße
Rainer
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