Integralkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 15.06.2009 | | Autor: | physicus |
Hi zusammen!
Ich habe folgende Reihe:
[mm] \summe_{i=4}^{\infty} \bruch{-5}{n^2-n-6}
[/mm]
ich soll den Grenzwert davon berechnen. Ich kenne nur 2 Kriterien mit welchen man "direkt" einen Grenzwert für Reihen berechnen kann: Für geometrische Reihen die übliche Formel und das Integralkriterium. Daher habe ich den Grenzwert mittels Integralkriterium berechnet und bekomme -ln(6). In der Lösung steht aber, dass der Grenzwert -137/60 ist. Was habe ich falsch gemacht? -ln(6) sollte stimme für das Integral.
Danke für die Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo physicus,
> Hi zusammen!
>
> Ich habe folgende Reihe:
>
> [mm]\summe_{i=4}^{\infty} \bruch{-5}{n^2-n-6}[/mm]
Ja wie jetzt? Es läuft doch sicherlich $n$ und nicht $i$ ...
>
> ich soll den Grenzwert davon berechnen. Ich kenne nur 2
> Kriterien mit welchen man "direkt" einen Grenzwert für
> Reihen berechnen kann: Für geometrische Reihen die übliche
> Formel und das Integralkriterium. Daher habe ich den
> Grenzwert mittels Integralkriterium berechnet und bekomme
> -ln(6). In der Lösung steht aber, dass der Grenzwert
> -137/60 ist. Was habe ich falsch gemacht? -ln(6) sollte
> stimme für das Integral.
Ich würde nicht das Integralkriterium benutzen, sondern die Reihe zunächst umschreiben in [mm] $\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{-5}{n^2-n-6}=-5\cdot{}\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{1}{(n+2)\cdot{}(n-3)}$
[/mm]
Dann eine Partialbruchzerlegung machen: [mm] $\frac{1}{(n+2)\cdot{}(n-3)}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n-3}$
[/mm]
Das sollte eine schöne Teleskopsumme geben ...
Bedenke, dass [mm] $\sum\limits_{n=4}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limis_{n=4}^{k}a_n}_{=S_k}$ [/mm] ist
Stelle also mal eine solche k-te Partialsumme [mm] $S_k$ [/mm] auf, das sollte die erwähnte Teleskopsume geben, deren GW du für [mm] $k\to\infty$ [/mm] berechnen musst
>
> Danke für die Hilfe!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mo 15.06.2009 | | Autor: | physicus |
Ja eine Partialbruchzerlegung habe ich auch gemacht für das Integralkriterium: Bei mir kommt raus: A= -1/5 B= 1/5.
Hm...das mit diesen Teleskopsummen ist so eine Sache....:
Also kann ich das folgendermassen schreiben:
[mm] 1/5(\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{1}{n-3} -\summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{n+2})
[/mm]
Die 1/5 streichen sich ja mit der -5 weg und übrig bleibt nur eine -1. Jetzt sehe ich schon, dass der Grenzwert nur von den ersten 5 Summenglieder der ersten Summe abhängt. Ich bekomme auch das Richtige raus: Aber, warum stimmt das Resultat nicht mit demjenigen des Integralkriterium überein!?Das sollte doch genau so gehen! Habe es mit Mathematica überprüft und es gibt -log(6). Wo liegt dann mein Fehler?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ja eine Partialbruchzerlegung habe ich auch gemacht für das
> Integralkriterium: Bei mir kommt raus: A= -1/5 B= 1/5.
> Hm...das mit diesen Teleskopsummen ist so eine Sache....:
> Also kann ich das folgendermassen schreiben:
>
> [mm]1/5(\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{1}{n-3} -\summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{n+2})[/mm]
>
> Die 1/5 streichen sich ja mit der -5 weg und übrig bleibt
> nur eine -1. Jetzt sehe ich schon, dass der Grenzwert nur
> von den ersten 5 Summenglieder der ersten Summe abhängt.
> Ich bekomme auch das Richtige raus: Aber, warum stimmt das
> Resultat nicht mit demjenigen des Integralkriterium
> überein!?Das sollte doch genau so gehen! Habe es mit
> Mathematica überprüft und es gibt -log(6). Wo liegt dann
> mein Fehler?
Mit dem Integralkriterium hast du "nur" gezeigt, dass die Reihe konvergent ist, es sagt jedoch nix über dem Grenzwert bzw. Reihenwert aus ...
Insbesondere ist der Wert der auftretenden Integrals in aller Regel nicht der Reihenwert
Den GW oder Reihenwert bekommst du über die o.e. PBZ und Betrachtung der Partialsummen
LG
schachuzipus
|
|
|
|
