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| Aufgabe | | Sei F: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] F (x , y ):= (y + x ,y - x) ein Vektorfeld. Man ermittle die Bahn der Integralkurve durch (1,0). |
Hallo,
ich versuche hier gerade das Verfahren für obige Aufgabe zu durchschauen, man könnte sowas ja auch mit Picard-Lindelöf-Integration lösen, haben wir vorher so gemacht, jetzt soll ich aber ein "direktes" Verfahren benutzen, das ich anhand meiner aufzeichnungen irgendwie nicht mehr nachvollziehen kann. zum ansatz:
zuerst haben wir das gleichungssystem in der übung entkoppelt, das hab ich hier auch gemacht:
x' = x + y differenzieren liefert: x'' = x' + y' = x' + y - x = 2x' - 2x
y' = y - x und nochmal: y'' = y' - x' = y' - x - y = 2y' - 2y
und jetzt kommt eigentlich schon der schritt, den ich nicht verstehe:
y = [mm] Ae^{it} [/mm] + [mm] Be^{-it}
[/mm]
x = [mm] Ce^{it} [/mm] + [mm] De^{-it} [/mm] steht hier jetzt (für die andere aufgabe aus der übung) und darein haben wir die startwerte eingesetzt und dann die variablen berechnet. aber wieso kann er y und x so ausdrücken? als linearkombinationen von e-funktionen? kann das jemand erklären...?
gruß,
hannes
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Hallo karlhungus,
> Sei F: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2},[/mm] F (x , y ):= (y + x ,y - x) ein
> Vektorfeld. Man ermittle die Bahn der Integralkurve durch
> (1,0).
> Hallo,
>
> ich versuche hier gerade das Verfahren für obige Aufgabe
> zu durchschauen, man könnte sowas ja auch mit
> Picard-Lindelöf-Integration lösen, haben wir vorher so
> gemacht, jetzt soll ich aber ein "direktes" Verfahren
> benutzen, das ich anhand meiner aufzeichnungen irgendwie
> nicht mehr nachvollziehen kann. zum ansatz:
>
> zuerst haben wir das gleichungssystem in der übung
> entkoppelt, das hab ich hier auch gemacht:
> x' = x + y differenzieren liefert: x'' = x' + y' = x' + y
> - x = 2x' - 2y'
Hier muss es doch lauten :[mm]x''=2x'-2\red{x}[/mm]
> y' = y - x und nochmal: y'' = y' - x' = y' - x - y = 2y' -
> 2y
>
> und jetzt kommt eigentlich schon der schritt, den ich nicht
> verstehe:
> y = [mm]Ae^{it}[/mm] + [mm]Be^{-it}[/mm]
> x = [mm]Ce^{it}[/mm] + [mm]De^{-it}[/mm] steht hier jetzt (für die andere
> aufgabe aus der übung) und darein haben wir die startwerte
> eingesetzt und dann die variablen berechnet. aber wieso
> kann er y und x so ausdrücken? als linearkombinationen von
> e-funktionen? kann das jemand erklären...?
Nun. eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten löst man
mit dem Ansatz [mm]e^{r*t}[/mm]. wobei sich das r ergibt, wenn
man den Ansatz in die DGL einsetzt.
Bei einer DGL zweiter Ordnung wirst Du für dieses r
zwei Werte [mm]r_{1}, \ r_{2}[/mm] erhalten.
Die Gesamtlösung dieser DGL ist dann für [mm]r_{1} \not= r_{2}[/mm]
eine Linearkombination beider Lösungen:
[mm]A*e^{r_{1}*t}+B*e^{r_{2}*t}[/mm]
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> gruß,
> hannes
>
Gruss
MathePower
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