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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mi 28.08.2013 | | Autor: | uli001 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenigen Stammfunktionen, deren Funktionswert für x0 gegeben ist:
a) f(x) = 9x²+x-2 mit F(0)=3
b) f(x) = [mm] 1/2x^{4}+1/4x³-x-2 [/mm] mit F(2)=3,2 |
Hallo zusammen,
Via Selbststudium versuche ich mich mit der Integralrechnung vertraut zu machen. Die grundlegende Vorgehensweise meine ich verstanden zu haben. Für o.g. Aufgabe, finde ich in meinen selbstgekauften Mathebüchern allerdings kein Schema, wie ich vorgehen muss.
Könnte mir jemand weiterhelfen? Also konkret bitte erklären, was ich wie wo einsetzen und berechnen muss?
Wäre super hilfreich, danke vorab!!!!
VG
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> Bestimmen Sie diejenigen Stammfunktionen, deren
> Funktionswert für x0 gegeben ist:
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> a) f(x) = 9x²+x-2 mit F(0)=3
> b) f(x) = [mm]1/2x^{4}+1/4x³-x-2[/mm] mit F(2)=3,2
Hallo,
ich mache Dir mal an einem Beispiel vor, worum es geht:
wir betrachten die Funktion [mm] f(x)=5x^3+2.
[/mm]
Eine Stammfunktion hiervon ist z.B. die Funktion
[mm] F(x)=\bruch{5}{4}x^4+2x,
[/mm]
was Du durch Ableiten prüfen kannst.
Eine Stammfunktion hiervon ist aber auch die Funktion
[mm] F(x)=\bruch{5}{4}x^4+2x+1,
[/mm]
ebenso wie
[mm] F(x)=\bruch{5}{4}x^4+2x+4711,
[/mm]
und überhaupt jede Funktion
[mm] F(x)=\bruch{5}{4}x^4+2x+c [/mm] mit [mm] c\in \IR.
[/mm]
Durch Ableiten überzeuge Dich von der Richtigkeit dessen, was ich sage.
Überlege Dir, daß alle Stammfunktionen dieselbe Gestalt haben, bloß nach oben oder unten verschoben sind.
Wenn Du nun zu [mm] f(x)=5x^3+2 [/mm] die Stammfunktion F angeben sollst, welche an der Stelle x=3 den Funktionswert 108 hat, für welche also F(3)=108 gilt, mußt Du herausfinden, für welches c gilt, daß [mm] \bruch{5}{4}*3^4+2*3+c=108.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 28.08.2013 | | Autor: | uli001 |
| Aufgabe | | Integrieren Sie h(x)=1/8x(4-3x) |
Ah... Hab ich verstanden, vielen lieben Dank!!!
Und gleich noch eine Zusatzfrage: Wie gehe ich bei o.g. Gleichung vor? Nach welchem Schema?
VG
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Hallo Uli,
>
Integrieren Sie h(x)=1/8x(4-3x)
> Ah... Hab ich verstanden, vielen lieben Dank!!!
>
> Und gleich noch eine Zusatzfrage: Wie gehe ich bei o.g.
> Gleichung vor? Nach welchem Schema?
Das Denken in Schemata solltest Du Dir abgewöhnen. Aber wenn Du das unbedingt brauchst, dann multipliziere hier erst einmal aus. Dann wirds einfacher.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mi 28.08.2013 | | Autor: | uli001 |
Denken in Schemata: Ja sollte ich  Geb mir Mühe!
Ausmultiplizieren darf ich an der Stelle ja?Also integriere ich einfach weiter mit 1/2x - 3/8x²?
Aber beispielsweise bei (1-3x)² darf ich es nicht, sehe ich das richtig? Hier lautet doch die Stammfunktion Hc(x) = -(1-3x)³ + c.
Habe ich das richtig verstanden?
VG
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> Denken in Schemata: Ja sollte ich Geb mir Mühe!
>
> Ausmultiplizieren darf ich an der Stelle ja?Also integriere
> ich einfach weiter mit 1/2x - 3/8x²?
> Aber beispielsweise bei (1-3x)² darf ich es nicht, sehe
> ich das richtig? Hier lautet doch die Stammfunktion Hc(x) =
> -(1-3x)³ + c.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Nein offensichtlich nicht - wieso solltest du [mm] (1-3x)^2 [/mm] nicht lt. binomischer Formel auflösen dürfen und dann integrieren??
>
> VG
Gruß
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 28.08.2013 | | Autor: | uli001 |
Ach so? Dann lautet die Lösung in dem Fall also 3x³-3x²+x+c?
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Ja ganz richtig.
[mm] \integral{(1-3x)^2 dx} [/mm] = [mm] 3x^3-3x^2+x+C.
[/mm]
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mi 28.08.2013 | | Autor: | uli001 |
Okay, vielen Dank!!!
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Hallo,
Ich erkläre es dir konkret anhand des ersten Beispiels, danach bist du sicher bereit Aufgabe 2 zu lösen.
Also zur kurzen Erklärung bzgl Stammfunktion - was ist das?
Ich nehme an, dass du weißt was ein unbestimmtes Integral ist - falls nicht so sei dies kurz angeführt:
Für eine Funktion f und jedes a [mm] \in [/mm] D(f) nennt man die Abbildung
[mm] x \to \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] das unbestimmte / oder besser ein unbestimmtes Integral von f.
Man bezeichnet F als Stammfunktion von f auf M [mm] \subseteq [/mm] D(F) [mm] \cap [/mm] D(f) falls für alle x [mm] \in [/mm] M F'(x) = f(x) gilt..
Prinzipiell unterscheiden sich alle (unendlich viele) Stammfunktionen zu ihrer Funktion nur durch eine additive Konstante , welche eine Verschiebung entlang der y - Achse angibt.
Diese Konstante (Verschiebung) wird in traditioneller Notation mit: +C wobei , C [mm] \in \IR [/mm] gekennzeichnet.
Soviel zum Theoretischen.
du betrachtest nun:
f(x) = [mm] 9x^2+x-2 [/mm] , wir möchten F so bestimmen dass F(0) = 3 ist.
Dazu ist natürlich [mm] \integral{f(x) dx} [/mm] zu bilden. es gilt:
[mm] \integral{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{(9x^2+x-2 dx} [/mm] = [mm] \frac{9}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x [/mm] +C. C [mm] \in \IR [/mm]
Es folgt also: F(x) = [mm] 3x^3+\frac{x^2}{2}-2x+C.
[/mm]
Wir wollen zu F(0) = 3. Setzen wir also ein:
[mm]F(0) = 3*0^3+\frac{0^2}{2}-2*0+C = 3 \Rightarrow C = 3[/mm].
So nun dann viel Vergnügen mit Aufgabe 2 ;)
Gruß
Thomas
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