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| Aufgabe | | Eine zum Koordinatenursprung symetrische Funktion 3. Grades hat an der Stelle 2 einen Tiefpunkt und schliesst mit der x-Achse eine Fläche mit dem Flächeninhalt 18 ein. Bestimme den Funktionsterm. |
Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Muss ich das mit den Ableitungsregeln bestimmen. Wenn ja, wie komme ich dann auf den Funktionsterm?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Pumpelpine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich nehme man an, deine Aufgabe ist es, die Funkionsgleichung aufzustellen. Jetzt hast du einige Sachen gegeben, aber die musst du noch richtig anwenden.
Fangen wir mal mit der aussage an, das du eine Funktion 3. Grades gegeben hast. Die allgemeine Funktionsgeichung ist y=ax³+bx²+cx+d . Die Funktion könnte ganz ungefährt so aussehen: http://www.friedemann-seebass.de/pics/krd_f2.gif
ABER: Du hast ja noch gegeben, das die Funktion Punktsymetrisch zum Koordinaten Ursprung ist! Darum weißt du, das der Grapf durch den Koordinatenurspung (0,0) gehen muss.
Es ist recht schwer zu beschrieben wie die Fuktion aussehen soll, aber ich versuche es mal.
Der Grapf kommt also von dem Quadraten unten links (müsste der dritte sein oder?) geht dann hoch in den Quadraten oben links (der zweite?) und hat dort einen Hochpunkt, dann durch den Ursprung in den Quadraten unten rechts, hat dort einen Tiefpunkt, und geht dann weiter in den ersten Quadranten (oebn rechts) und läuft nach Unendlich.
Das im Vierten Quadraten (also unten rechts) ein Tiefpunkt ist, hast du gegeben, denn du weißt das es einen bei x=2 gibt.
Und nochwas hast du gegeben: Die flächte zwischen Grapf und x-Achse sind 18FE, und die setzen sich zusammen aus 2*9FE.
Hast du das bisher verstanden?
Ok, jetzt musst du anfangen das Bekannte einzusatzen.
Wenn du den Punkt (0,0) in die allgemeine Gleichung y=ax³+bx²+cx+d einsetzt, bekommst du, dass d=0 ist. Das d kannst du also in der weiten betrachtung weg lassen.
Außerdem weißt du, das bei x=2 ein Tiefpunkt ist. Also ist die erste Ableitung an der Stelle 2 gleich Null, und die zweite Ableitung an der Stelle 2 größer als Null.
Kannst du damit weitermachen? Hoffe diese ersten Überlegungen helfen dir, die Aufgabe erst mal anzupacken. Wenn du das am Ende jetzt etwas schnell ging, frag nochmal nach, und ich erkläre es dir.
Viel Erfolg!
Sara
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Ok, danke bis dahin hab ich die Aufgabe.
Wie kommt man auf den Funktionsterm? Ich komme da nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Fr 17.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Pumpelpine,
zunächst noch eine Ergänzung zu kampfsockes Hinweis bzgl., der Punktsymmetrie:
Punktsymmetrische Funktionen haben grundsätzlich nur ungerade Exponenten. Der gesuchte Funtionsterm reduziert sich dadurch schon mal zu
$f(x) = [mm] a*x^3 [/mm] + c * x$
Gleich schon mal die Ableitung:
$f'(x) = [mm] 3ax^2 [/mm] + c$
Du musst also irgendwie a und c herausfinden.
Für 2 Unbekannte braucht man 2 Bedingungen (also 2 Gleichungen).
Die erste ergibt sich - wie kampfsocke erläutert hat - aus dem Tiefpunkt:
(1) $f'(2) = 0$
Als zweite Bedingung bleibt nur die Fläche (dass die Kurve durch (0/0) geht steckt ja in der Symmetrie mit drin, die wir schon berücksichtigt haben). Kampfsockes Korrektur-Hinweis (danke!) auf die beiden Teilflächen habe ich jetzt berücksichtigt.
Die mit der x-Achse eingeschlossene Fläche besteht aus 2 gleichgroßen (Symmetrie!) Teilflächen im II. und im IV. Quadranten. Der Einfachheit halber betrachten wir nur eine der beiden Teilflächen (die rechte, unterhalb der x-Achse), die dann die Größe 9 haben muss.
Die Fläche allgemein:
$A = [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f(x) dx}\quad [/mm] $ wobei [mm] $x_1,\ x_2$ [/mm] die Nullstellen sind.
Du musst also erstmal die zweite Nullstelle berechnen (die Erste ist ja [mm] $x_1 [/mm] = 0$). Zur Kontrolle:
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] \wurzel\bruch{-c}{a}$
[/mm]
Symmetrisch dazu gibt es natürlich noch [mm] $x_3$.
[/mm]
Als zweite Gleichung erhältst Du dann
(2) $9 = - [mm] \integral_{0}^{\wurzel\bruch{-c}{a}}{(ax^3 + cx) dx}$
[/mm]
Das negative Vorzeichen, da die Fläche ja unterhalb der x-Achse liegt.
Wenn Du dieses Integral gelöst hast, erhältst Du wieder eine (relativ) einfache Gleichung mit a und c.
Aus den beiden Gleichungen (die aus (1) und (2) entstanden sind) kannst Du dann a und c berechnen und hast damit auch den gesuchten Funktionsterm.
Schöne Grüße,
ardik
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Fr 17.02.2006 | | Autor: | kampfsocke |
stimmt ardik, jetzt wo du es sagt, fällt mir diese Bedingung auch wieder ein.
Aber es hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen:
Wenn du sagst, es sollen nur ungerade Exponenten vorkommen, hat ein x² da nicht verlohren.
Die Gleichung muss also y=ax³+cx heißen, und die Ableitung entsprechend auch anders.
Außerdem glaube ich, das du beim Integral einen Fehler gemacht hast. Die Funktion hat 3 Nullstellen, eine bei - [mm] x_{0}, [/mm] eine bei 0, und eine bei [mm] x_{0}.
[/mm]
Darum muss man man das Integral in 2 Teilintegrake aufteilen, weil sich die Flächen links und rechts von der y-Achse wieder aufheben.
//Sara
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 17.02.2006 | | Autor: | Pumpelpine |
Danke euch erstmal. Werde mich mal ans rechnen machen!
Mfg Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Fr 17.02.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Als Lösung habe ich y= [mm] \bruch{1}{4}x³-3x
[/mm]
zum vergleichen. Das stimmt mit der Fläche und dem Tiefpunkt.
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