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Hallo
Kann mir bitte jemand die folgenden Aufgaben lösen? Ich komme nicht auf das Ergebnis! Ich soll die Stammfunktionen finden:
[mm] \integral \wurzel{x}*(4x^3/\wurzel{x}+2\wurzel{x}-1/\wurzel{x}+1/2x)
[/mm]
und
[mm] \integral 8*(2x-10)^3
[/mm]
Vielen Dank
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> Hallo
> Kann mir bitte jemand die folgenden Aufgaben lösen? Ich
> komme nicht auf das Ergebnis! Ich soll die Stammfunktionen
> finden:
> [mm]\integral \wurzel{x}*(4x^3/\wurzel{x}+2\wurzel{x}-1/\wurzel{x}+1/2x)[/mm]
Hier formst Du mit Vorteil zuerst einmal so um, dass Du unter dem Integral nur noch eine Linarkombination von Potenzen von $x$ hast. Etwa so:
[mm]\int\big(4x^3+2x-1+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\big)\; dx[/mm]
Davon wirst Du vermutlich selbständig eine Stammfunktion berechnen können.
>
> und
> [mm]\integral 8*(2x-10)^3[/mm]
Hier gibt es zwei Möglichkeiten: Du kannst [mm] $(2x-10)^3$ [/mm] ausmultiplizieren, dann hast Du nur noch ein Polynom der Form [mm] $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ [/mm] als Integrand: das wäre dann kein Problem mehr, nehme ich einmal an.
Die zweite Möglichkeit ist $u(x)=2x-10$ zu substituieren. Dann ist $du = 2dx$ und wir erhalten:
[mm]\int 8(2x-10)^3\, dx = 4\int u^3\, du = 4\cdot \frac{1}{4}u^4+C=\underline{\underline{(2x-10)^4+C}}[/mm]
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Vielen Dank...
Ich verstehe nicht ganz, wie Du das erste Beispiel umgeform hast?
Danke
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> Vielen Dank...
> Ich verstehe nicht ganz, wie Du das erste Beispiel
> umgeform hast?
Einfach ausmultiplizieren: Schreib also mal den Faktor [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] zu jedem der Summnanden, die in der Klammer stehen. Und dann vereinfachst Du diese Summanden was das Zeug hält:
So ist doch etwa [mm] $\sqrt{x}\cdot 4\frac{x^3}{\sqrt{x}}=4x^3$, [/mm] denn [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] kann genkürzt werden.
Als nächstes wirst Du [mm] $\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}=2\sqrt{x}^2=2x$ [/mm] vereinfachen wollen.
Dann kommt das Produkt [mm] $-\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{x}}=-1$, [/mm] denn [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] kann gekürzt werden.
Schliesslich kommt noch das Produkt [mm] $\sqrt{x}\frac{1}{2x}=x^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{2}\cdot x^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
[/mm]
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