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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Alica |
| Aufgabe | | Gib eine Stammfunktion zu f mit f(x)=x * [mm] (x²+3)^6 [/mm] an. |
so ich habe mir gedacht, dass substitutionsverfahren anwenden muss
und die stammfunktion wäre dann: [(x²+3)^6x] ? oder verschwindet die 6 ganz?
Dankeschön schonmal im voraus
vlg Alica
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Hallo Alica,
> Gib eine Stammfunktion zu f mit f(x)=x * [mm](x²+3)^6[/mm] an.
> so ich habe mir gedacht, dass substitutionsverfahren
> anwenden muss
> und die stammfunktion wäre dann: [(x²+3)^6x] ? oder
> verschwindet die 6 ganz?
Mal sehen, was passiert, wenn man [mm]k = x^2+3\Rightarrow x(k):=\sqrt{k-3}[/mm] substituiert:
[mm]\int{k^6\sqrt{k-3}\cdot{\frac{1}{2\sqrt{k-3}}}\,\operatorname{d}\!k} = \frac{1}{2}\int{k^6\,\operatorname{d}\!k}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{7}}\cdot{k^7}=\frac{\left(x^2+3\right)^7}{14}[/mm]
Wie hast du substituiert?
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Alica |
oh je, das Problem bei dieser Aufgabe ist, das ich nciht weiß was u, u', v oder v' ist und (nicht böse sein;) das mit k hat mich jetzt noch mehr verwirrt, weil da blick ich gar net mehr durch. kannst du mir das genauer erklären?
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Du sollst ja im Grunde das Integral
[mm] \int{x*(x^{2}+3)^{6}dx} [/mm] berechnen.
Wie du richtig erkannt hast, macht es Sinn zu substituieren; bei solchen Integralen sollte man immer den ganzen Term unter der großen Potenz substituieren.
Der Sinn einer Substitution ist die vollständige Ersetzung einer Variablen in einem Term durch eine andere, in unserem Fall soll x durch u.
Ich mache das immer folgendermaßen:
Substitution (Variable u wird durch x dargestellt):
u = g(x) = [mm] x^{2}+3
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = g'(x) [Notwendiges Wissen! (Wird so gemacht)]
Wir wollen ja nun eine Darstellung haben, wo dx auf einer Seite steht, damit wir wissen, wie es ersetzt werden muss: Wir stellen also um:
[mm] \bruch{du}{g'(x)} [/mm] = dx
Wir berechnen g'(x):
g'(x) = 2x
Also steht da:
[mm] \bruch{du}{2x} [/mm] = dx
Wir setzen nun die vollständige Substituion ins Integral ein:
[mm] \int{x*(u)^{6}\bruch{du}{2x}}
[/mm]
Man kann kürzen:
[mm] \int{(u)^{6}\bruch{du}{2}}
[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] lässt sich, da Konstant aus dem Integral herausziehen:
[mm] \bruch{1}{2}*\int{(u)^{6}du}
[/mm]
Dieses Integral kann man lösen:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{7}*u^{7}
[/mm]
Was war denn u = g(x)? Substituion nach erfolgreichem Integrieren rückgängig machen:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{7}*(x^{2}+3)^{7} [/mm] = [mm] \bruch{(x^{2}+3)^{7}}{14}
[/mm]
FERTIG!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Alica |
dankeschön, deine Antwort war mir eine große Hilfe, hab es jetzt verstanden, nur so hatten wir das noch nie im Unterricht gemacht (also mit du und dx, vllt kommt es ja noch;)
wünsche noch einen schönen Abend, mfg Alica
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Nur noch ein kleiner Nachtrag in der Zeile
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = g'(x)
Das ist natürlich kein "Wird so gemacht", sondern ist eigentlich eine Bezeichnungssache.
Wir haben ja u = g(x) für unsere Substitution beschrieben.
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] ist demnach nichts anderes als [mm] \bruch{dg(x)}{dx}, [/mm] also [mm] \bruch{d}{dx}g(x), [/mm] was wir ja mit g'(x), der Ableitung, gleichgesetzt haben. Es ist also nochmal zusammenhängend:
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dg(x)}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}g(x) [/mm] = g'(x)
eine Gleichung und keine "Wird so gemacht"-Angelegenheit, wie ich erst behauptete.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mo 15.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
und wenn Zeit ist,kannst auch eine Probe machen :)
Bilde dazu einfach F'(x)
Wenn F'(x)=f(x)gilt, dann ist F(x) eine Stammfkt von f(x).
cya
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