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Aufgabe : Integral ln [mm] \wurzel{x+1} [/mm] dx
Lösung : 1/2 ((x+1) ln(x+1)-x)
Meine Frage ist, wie man darauf kommt??
Ich verstehe einfach nicht wie man auf diese Lösung kommt!
Kann mir da einer helfen?
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Hallo Stillmatic!
Vor dem Integrieren solltest Du erst ein  Logarithmusgesetz anwenden:
[mm] $$\ln\wurzel{x+1} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x+1)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln(x+1)$$
[/mm]
Nun kannst Du partiell integrieren mit $u' \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] sowie $v \ = \ [mm] \ln(x+1)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Ja ich habe mir die partielle Integration mal angeschaut, verstehe sie aber nicht wirklich!
Ansatz:
u'=1/2
u =1/2x
v = ln(x+1)
Nun habe ich folgende Formlen gefunden -->
u*v - Integral u'v dx
Einsetzen:
(1/2 x) * (ln(x+1)) - Integral (1/2) * (ln(x+1))
Aber was nun??
Ist das überhaupt soweit richtig??
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Hallo Stillmatic!
Aufgepasst! Mit den von mir oben gewählten Bezeichnungen lautet die Formel für die partielle Integration:
[mm] $$\integral{u'*v} [/mm] \ = \ [mm] u*v-\integral{u*v'}$$
[/mm]
Angewandt auf unsere Funktion:
$$u' \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ u \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x$$
[/mm]
$$v \ = \ [mm] \ln(x+1) [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ v' \ = \ [mm] \bruch{1}{x+1}$$
[/mm]
[mm] $$\integral{\bruch{1}{2}*\ln(x+1) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x*\ln(x+1)-\integral{\bruch{1}{2}*x*\bruch{1}{x+1} \ dx}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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