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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 22.10.2008 | | Autor: | peter23 |
| Aufgabe | p>0 ist die Funktion fp gegeben durch [mm] fp(x)=p*(-x^3+3x+7).
[/mm]
Bestimme p sodass der Graf von fp mit der Tangente im Hochpukt eine Fläche mit dem Inhalt 35 einschliesst. |
Wie fange ich nun an? und was muss ich machen um es zu lösen.
Außerdem wollte ich noich fragen, wie man von einer Funktion
[mm] f(x)=x^3 [/mm] +3x + 4 die Nullstelle herausfindet.
Ich habe überlegt und habe gedacht, dass man durch bestimmung der Nullstelle anfängt. Dann ableitet und die Tangente ausrechnen.
mfg
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> p>0 ist die Funktion fp gegeben durch [mm]fp(x)=p*(-x^3+3x+7).[/mm]
> Bestimme p sodass der Graf von fp mit der Tangente im
> Hochpukt eine Fläche mit dem Inhalt 35 einschliesst.
> Wie fange ich nun an? und was muss ich machen um es zu
> lösen.
>
> Außerdem wollte ich noich fragen, wie man von einer
> Funktion
> [mm]f(x)=x^3[/mm] +3x + 4 die Nullstelle herausfindet.
Hallo!
Man kann mit komplizierten Formeln die Nullstellen einer rationalen Funktion dritten Grades, die du hier vorliegen hast, berechnen. Ich denke aber, wenn du die wirklich wissen willst, solltest du einen Graphischen Taschenrechner bemühen.
> Ich habe überlegt und habe gedacht, dass man durch
> bestimmung der Nullstelle anfängt. Dann ableitet und die
> Tangente ausrechnen.
Du brauchst für die Aufgabe die Nullstellen nicht zu berechnen.
Es geht ja offenbar grundsätzlich um eine Tangente, die einen bestimmten Flächeninhalt mit den Koordinatenachsen einschließen soll (35). Die Gleichung dieser Tangente hängt von p ab, ein BEISPIEL wäre t(x) = p*x+1. Ich denke, du weißt, wie du die Aufgabe zu lösen hast, wenn du die Tangentengleichung gegeben hast.
Deswegen ist nun die Frage: Wie ist die Tangentengleichung? Wie kommt man auf die? Man muss nach Informationen in der Aufgabe suchen, welche uns die Tangente beschreibt. Da finde ich:
Tangente am Hochpunkt der Funktion [mm] f_{p}(x).
[/mm]
Was musst du also tun, um die Tangentengleichung zu bestimmen?
> mfg
> Peter
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 22.10.2008 | | Autor: | peter23 |
also muss ich die erste Ableitung 0 setzen und habe die Steigung der Tangente?
Aber dann hätt ich ja ein [mm] x^2 [/mm] und das wäre wieder eine Parabel und keine lineare Funktion.
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Hallo!
Dein erstes Ziel ist, überhaupt erstmal diesen dubiosen Hochpunkt zu bestimmen. Den brauchst du nämlich, um deine Tangentengleichung auszurechnen. Wie du dir sicher vorstellen kannst, hat eine Tangente im Hochpunkt die Steigung 0. D.h. wir haben es mit einer zur x-Achse parallelen Geraden zu tun.
Also:
- Berechne den Hochpunkt der Funktion [mm] f_{p}.
[/mm]
- Der y-Wert des Hochpunkts ist gleichzeitig die Tangentengleichung. Warum? Ist dir das klar? Zeichne dir einen Graph und die Tangente dazu, dann wird es glaub ich deutlich 
- Es geht um einen Flächeninhalt, den der Graph der Funktion [mm] f_{p} [/mm] mit der gerade eben berechneten Tangente einschließt. Dieser soll nämlich 35 groß werden.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 22.10.2008 | | Autor: | peter23 |
Also ich habe mir jetzt mal den grafen gezeichnet mit derive.
Aber ich verstehe nicht, wie ich den Hochpkt bestimme.
eie Bedingung für den hochpkt ist ja die 1. Ableitung 0 setzten.
Also wie mache ich das und warum ist die Tangente paralel zur x-Achse.
Sry, dass ich es nicht gleich verstehe. Sitze schon länger an der aufgabe. Und der Anfang fehlt. Wie man dann die Fläche ausrechnet mit dem Integral das kann ich, aber wie man auf die Tangente bzw den hochpkt kommt da habe ich kA.
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Hallo!
Wie du leicht an folgender Graphik sehen kannst (ich habe p = 2 gewählt):
[Dateianhang nicht öffentlich]
hat der Hochpunkt die folgenden Eigenschaften: Eine Tangente an dieser Stelle hat die Steigung 0, d.h. eben gerade die Ableitung der Funktion an dieser Stelle hat die Steigung 0. Und wenn eine Tangente die Steigung 0 hat, heißt das, sie steigt nicht an - und ist deswegen parallel zur x-Achse, die auch nicht ansteigt ^^
Notwendige Bedingung für einen Hochpunkt an einer Stelle x ist also: f'(x) = 0.
Um also Hochpunkt-Kandidaten herauszubekommen, musst du die Gleichung
[mm] f_{p}'(x) [/mm] = 0
nach x auflösen. Wie du aber oben auch leicht sehen kannst, ist auch bei einem Tiefpunkt die obige Gleichung erfüllt. Um nun zu testen, an welchen beiden Kandidaten, die du erhältst, der Tiefpunkt vorliegt, musst du dir die zweite Ableitung an der Stelle ansehen:
[mm] f_{p}''(x) [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt
[mm] f_{p}''(x) [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt
Warum das so ist, möchte ich jetzt nicht erklären. Anschaulich kannst du es dir aber so vorstellen, dass die zweite Ableitung nicht mehr die Steigung der Funktion, sondern die Steigungsänderung angibt. Wenn die Steigungsänderung > 0 ist, heißt das, dass die Steigung wächst ^^. D.h. die Funktion geht wieder mehr nach "oben". Und genau bei einem Tiefpunkt liegt der Fall vor, dass die Funktion wieder nach "oben" gehen möchte.
Einerlei - Finde jetzt die Hochpunkt-Kandidaten heraus und welcher der beiden wirklich der Hochpunkt ist! Du darfst [mm] p\not= [/mm] 0 voraussetzen.
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 22.10.2008 | | Autor: | peter23 |
hiho,
erstma vielen Dank für dein Bemühen.
Ich glaube, dass du einen fehler gemacht hast. In der Aufgabe ist die Rede von einer Tangente und eine Tangente schneidet den Graf nur 1x.
Hingegen deine Funktion den grafen 2x schneidet. Somit ist dies eine Sekante und die Lösung ist nicht korekt.
Also es muss eine Tangente sein mit einer Steigung y.
Also ich denke ich muss die erste ableitung 0 setzen und ich habe die steigung und dann 0 setzten so muss es irgendwie gehen.
mfg
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Hallo!
Verstehe ich nicht - ich habe bei meinen Antworten keine einzige Tangente ausgerechnet, an der du jetzt etwas aussetzen könntest Die eine war nur ein Beispiel.
Ich rechne jetzt aber doch mal ein wenig, damit du in Schwung kommst:
[mm]f_{p}(x) = p*(-x^{3}+3x+7)[/mm]
[mm]\Rightarrow f_{p}'(x) = p*(-3x^{2}+3)[/mm]
Nun Berechnung der Hochpunkt-Kandidaten:
[mm]f_{p}'(x) = p*(-3x^{2}+3) = 0[/mm]
[mm]\gdw -3x^{2}+3 = 0[/mm]
[mm]\gdw x^{2} = 1[/mm]
D.h. möglich wäre ein Hochpunkt an der Stelle -1 oder 1. Der andere Punkt ist dann jeweils der Tiefpunkt. Nun muss man überprüfen, welcher denn nun der Hochpunkt ist - das tue ich jetzt mit der zweiten Ableitung:
[mm] f_{p}''(x) [/mm] = p*(-6x)
Setze ich jetzt -1 für x ein, erhalte ich
[mm] f_{p}''(-1) [/mm] = p*(6)
Da p stets größer als 0 ist (nach Aufgabenstellung, ist also auch [mm] f_{p}''(-1) [/mm] = p*(6) > 0 für jedes p, damit liegt an Stelle -1 immer ein Tiefpunkt vor. Man kann leicht durch Einsetzen überprüfen, dass dann an der Stelle x = 1 immer der Hochpunkt vorliegt.
Nun muss man den y-Wert des Hochpunkts berechnen, indem man den nun schon bekannten x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzt. Denn dort soll der Hochpunkt ja draufliegen. Berechne also
[mm] f_{p}(1)
[/mm]
das ist der y-Wert des Hochpunkts. Damit hast du gleichzeitig deine Tangentengleichung. Denn eine Tangente an einem Extrempunkt hat die Steigung 0, d.h. bei der Formel
t(x) = m*x + n
ist m = 0 und es bleibt
t(x) = n [mm] \in \IR
[/mm]
Wenn die Tangente aber die ganze Zeit nur einen y-Wert annimmt und durch den Hochpunkt gehen soll, muss sie logischerweise als "n" den y-Wert des Hochpunkts haben.
Jetzt hast du deine Tangentengleichung - rechne fleißig weiter
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 22.10.2008 | | Autor: | peter23 |
Also der Punkt ist (1/8)
Jedoch wie rechne ich jetzt die Tangente aus?
Das ist auch die letzte Frage.
Danke für dein Bemühen Stefen ;)
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Hallo!
> Also der Punkt ist (1/8)
Wie bist du denn darauf gekommen?
[mm] f_{p}(1) [/mm] = [mm] p*(-(1^{3})+3*1+7) [/mm] = ...
Die Aufgabe wäre doch sinnlos, wenn der Hochpunkt eine feste y-Koordinate hätte! Die ist von p abhängig und logischerweise dann auch die Tangentengleichung. Mittlerweile müsstest du doch eigentlich verstanden haben, was die Tangentengleichung ist. Bitte sag, wenn du es noch nicht verstanden hast oder mach einen Vorschlag!
t(x) = m*x + n
Was ist m? was ist n?
Stefan.
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