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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
| Aufgabe | Gegeben:f(x)= [mm] 0,6-0,78(mal)ex_{-0,37x}
[/mm]
Stammfunktion von f [mm] F(x)=\bruch{3}{5}x+\bruch{78}{37}ex_{\bruch{-37}{100}x}
[/mm]
Die Koordinatenachse, der Graph von f und die Gerade mit x=6 und y=0,6 schließen eine Fläche ein
Bestimme den Inhalt der Fläche |
Wie muss der integra aufgebaut sein..
[mm] \integral_{0,6}^{6}{f(x) dx}?
[/mm]
Danke
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Hallo noreen,
kann es sein, dass du dich ein wenig vertippt hast bei der Aufgabenstellung?
Die Funktionen f(x) und F(x) enthalten sicher die e-Funktion, oder?
> Gegeben:f(x)= [mm]0,6-0,78(mal)ex_{-0,37x}[/mm]
>
> Stammfunktion von f
> [mm]F(x)=\bruch{3}{5}x+\bruch{78}{37}ex_{\bruch{-37}{100}x}[/mm]
Also müssten sie folgendermaßen lauten:
f(x)= [mm] 0,6-0,78*e^{-0,37x}
[/mm]
und die Stammfunktion [mm] F(x)=\bruch{3}{5}x+\bruch{78}{37}*e^{\bruch{-37}{100}x}
[/mm]
Oder verwendet ihr eine mir völlig neue/fremde Schreibweise für die Exponentialfunktion mit dem Exponenten als Index?!
Außerdem müsste es bei der Flächenbeschreibung "KoordinatenachseN" heißen, statt "Koordinatenachse". Wäre das möglich?
Denn es gibt mit der obigen Funktion f(x) kein Flächenstück, das nur von einer Koordinatenachse und den entsprechenden Geraden bei x=6 und y=0.6 eingeschlossen wird, sondern nur ein Flächenstück, das von den beiden Geraden, dem Graphen der Funktion f(x) und eben BEIDEN Koordinatenachsen eingeschlossen wird. (Sofern ich die Funktionen richtig interpretiere, sprich die Tippfehler eigentlich so gemeint sind, wie ich es hier geschrieben hab.)
Dein Ansatz für das Integral stimmt dann leider nicht ganz. Die Wahl der Grenzen scheint mir vor allem mehr geraten zu sein, als bedacht!;)
Versuch doch mal, die Funktion zu zeichnen/skizzieren bzw. am einfachsten zu plotten, damit du siehst, welche Fläche überhaupt gemeint ist.
Dann findest du bestimmt auch einen Weg, die Fläche zu bestimmen.
MfG,
MaTEEler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
Ja das stimmt wohl..
Ich hab leider keine Ahnung wie das Integral aufgestellt wird..das ist ja mein problem.. ausrechnen des Integrals ist nicht das Problem.. muss halt nur wissen was eingesetzt werden soll..
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Ok, die Fläche, die du mit einem Integral berechnen kannst, ist - wie du hoffentlich weißt oder zumindest schon mal gehört haben solltest - immer die Fläche zwischen dem Graphen der entsprechenden Funktion und der x-Achse.
In diesem Fall liegt die zu berechnende Fläche jedoch nicht zwischen x-Achse und Funktionsgraph, sondern zwischen einer zur x-Achse parallelen Geraden und dem Graphen. (siehe Skizze unten).
In einem solchen Fall ist es in der Regel am einfachsten, das gesamte Rechteck zwischen Koordiatenachsen und den beiden Geraden zu berechnen (am einfachsten ohne Integral, einfach mit elementaren Mitteln aus der Mittelstufe, sprich "Länge mal Breite") und dann von dieser Rechtecksfläche die überschüssige Fläche abzuziehen. Diese Fläche ist genau die zwischen Funktionsgraph und x-Achse, also eine Fläche, die sich mit einem Integral berechnen lässt.
Das dafür benötigte Integral ist schon sehr ähnlich zu dem, das du anfangs aufgestellt hast, nur mit den Grenzen stimmt was nicht. Schau dir doch das Bildchen mal an und überleg, von wo bis wo du integrieren musst und wie du die entsprechenden Stellen findest (für eine von beiden benötigst du eine kurze Rechnung, die andere ist einfach abzulesen)!
Wenn du dann die richtige Rechtecksfläche berechnest, das richtige Integral aufstellst und löst und die oben erläuterte Differenz bildest, dann erhälst du die Lösung für deinen gesuchten Flächeninhalt.
MfG,
MaTEEler
PS. Werde jetzt noch versuchen, die eben erstellte Grafik hochzuladen, leider hab ich das noch nie vorher gemacht, hoffe deshalb es wird (schnell) funktionieren!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
Lieben Dank , das ist sehr gut erklärt und dargestellt..
Also ich kann die 6 auf der x Achse nutzen.. und wahrscheinlich muss ich den Schnittpunkt der beiden Graphen ermitteln?
Dieses Ergebnis stellt dann die zweite Zahl für mein Integral dar ?
Nochmal danke für die Mühe ,bezogen auf die Darstellung ..
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Hallo noreen,
> Integral?
> Lieben Dank , das ist sehr gut erklärt und
> dargestellt..
>
> Also ich kann die 6 auf der x Achse nutzen.. und
> wahrscheinlich muss ich den Schnittpunkt der beiden Graphen
> ermitteln?
Einen Schnittpunkt muss Du berechnen. Nur welchen?
> Dieses Ergebnis stellt dann die zweite Zahl für mein
> Integral dar ?
>
>
> Nochmal danke für die Mühe ,bezogen auf die Darstellung
> ..
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
Naja der schnittpunkt.. der geraden und der gleichung f(x)?oder
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Nein, damit meinst du glaube ich den falschen...
Bedenke, dass die Grenzen des Integrals x-Werte sind (da du ja nach x integrierst). Schau dir nochmal das Bild an, mit der einen Grenze, nämlich 6, hattest du ja bereits richtig gelegen. Würdest du den Schnittpunkt vom Graphen mit der senkrechten Gerade berechnen, würdest als x-Wert ebenfalls 6 erhalten, die Gerade x=6 hat ja auch keine anderen x-Werte. Die andere Gerade, y=0.6, schneidet den Funktionsgraphen nicht, sondern ist eine Asymptote (zu überprüfen mittels Betrachtung der Funktion im Unendlichen, sprich limes).
Der gesuchte "Schnittpunkt" muss also ein anderer sein. Werf doch nochmal ein Blick auf die Grafik, von wo bis wo verläuft denn Fläche zwischen Graph und x-Achse? Denn das ist ja der Flächenanteil, den du mit dem Integral lösen kannst/musst.
MfG,
MaTEEler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
Ich muss ganz ehrlich gestehen das ich es nicht weiß..der graph schneidet die x achse noch an der stelle 1, ..also den schnittpunkt mit der x achse einfach berechnen ?
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Hallo noreen,
> Integral
> Ich muss ganz ehrlich gestehen das ich es nicht weiß..der
> graph schneidet die x achse noch an der stelle 1, ..also
> den schnittpunkt mit der x achse einfach berechnen ?
Genau.
Gruss
MathePower
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> Ich muss ganz ehrlich gestehen das ich es nicht weiß..der
> graph schneidet die x achse noch an der stelle 1, ..also
> den schnittpunkt mit der x achse einfach berechnen ?
Genau! Schnittpunkt von Graph und x-Achse bildet die untere Grenze des Integrals, da dort die Fläche "anfängt".
Der Schnittpunkt liegt aber nicht bei 1?! Wie du darauf kommst weiß ich nicht. Um die Lage zu bestimmen, musst du den "Schnittpunkt mit der x-Achse"=Nullstelle berechnen.
Viel Erfolg dabei! Dein Ergebnis aus der Rechnung kannst du ja dann mit der Zeichnung vergleichen und so überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
schnittpunkt mit der x achse ?
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Hallo noreen,
> integral
> schnittpunkt mit der x achse ?
Genau.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
die Frage sollte nicht doppelt gepostet werden.. sorry..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
ICh muss die schnittpunkte der gleichung f berechen oder ?also mit x -achse
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Hallo noreen,
> Berechnung
> ICh muss die schnittpunkte der gleichung f berechen oder
> ?also mit x -achse
So ist es.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
| Aufgabe | | Aber was mache ich denn mit dem e hoch ... |
ihcm uss ja quasi 2 schnittpunkte haben und die gleichung f gleich null setzen ..
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> Aber was mache ich denn mit dem e hoch ...
> ihcm uss ja quasi 2 schnittpunkte haben und die gleichung
> f gleich null setzen ..
Wieso 2 Schnittpunkte?
Es gibt nur einen Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der x-Achse, also eine sogenannte Nullstelle.
Die erhälst du, indem du den Ansatz f(x)=0 löst, richtig!
Das "e hoch"-Problem kriegst du mit der Umkehrfunktion zur e-Funktion in den Griff. Also du musst logarithmieren, also auf beiden Seiten der Gleichung den "ln" anwenden. Allerdings musst du bevor du das machst, die Gleichung f(x)=0 erst ein wenig umformen, sodass auf einer Seite der e-hoch-Term alleine steht, vorher hilft dir das Logarithmieren nicht wirklich etwas.
MfG,
MaTEEler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
hab jetzt -0,6+0,78 auf einer seite und das e auf der anderen.. bekomm da aber ein komisches ergebnis raus
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> Integral
> hab jetzt -0,6+0,78 auf einer seite und das e auf der
> anderen.. bekomm da aber ein komisches ergebnis raus
Naja, das stimmt nicht so ganz...
Ausgehend von f(x)=0, also von [mm] 0.6-0.78*e^{-0.37x}=0
[/mm]
muss zuerst umsortiert werden, also 0.6 auf die andere Seite (wie dus noch richtig gemacht hast), aber dann nicht PLUS 0.78, sondern GETEILT DURCH (-0.78), weil die Verknüpfung zwischen dem Vorfaktor 0.78 und dem e-Term eine Multiplikation ist!!! Das Minus ist nur das Vorzeichen des Faktors 0.78!!!
Du hast dann also [mm] e^{-0.37x}=\bruch{-0.6}{-0.78}
[/mm]
Dann musst du den logarithmus naturalis, also den ln anwenden, um den Exponenten vom e "runter" zu kriegen.
Es kommt in der Tat ein "komisches" Ergebnis raus, im Sinne von einer nichtrationalen Zahl. Komisch ist die Zahl nicht wirklich, ist schließlich genau so eine Zahl wie jede andere auch, aber wohl keine "schöne" Zahl im Sinne der Schülerästhetik!;)
MfG,
MaTEEler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
danke für die nette Hilfe !:)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 08.02.2011 | | Autor: | noreen |
Ist das ergebnis 0,71?
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> lösung
> Ist das ergebnis 0,71?
Wenn du mit "ergebnis" die Nullstelle meinst: JA! Glückwunsch!;)
Falls du damit das Endergebnis, sprich den gesuchten Flächeninhalt meinst: Leider nein, aber ich denk du meinst die Nullstelle...
Dann stimmts soweit, dann musst du "nur" noch das Integral lösen, was durch die Tatsache, dass die Stammfunktion angegeben ist, nicht wirklich schwierig sein sollte, und dann noch die Sache mit der Rechtecksfläche und der Differenz...
Auf deutsch: Du hast es gleich geschafft!
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