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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 24.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo zusammen,
ich habe hier zwei verzwickte Aufgaben, die ich aufgrund einer Besonderheit nicht lösen kann.
Nr.1
$ [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{ \wurzel{9-u^{2}}} [/mm] du}$
Diese Aufgabe müsste mit einer geeigneten Substitution gelöst werden.
Nr.2
Bestimmen Sie die Stammfunktion
[mm] $g(x)=3-3tan^{2}x$
[/mm]
Wie kann ich hier [mm] $3tan^{2}x$ [/mm] umschreiben, damit es sich ableiten lässt.
Vielen Dank für eure Hilfe
liebe Grüsse
Rotzel
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Hallo Rotzel,
> Nr.1
> [mm]\integral_{}^{} { \bruch{1}{ \wurzel{9-u^{2}}} du}[/mm]
> Diese
> Aufgabe müsste mit einer geeigneten Substitution gelöst
> werden.
Es wäre ziemlich aufwendig solche Integrale auf eine geschlossene Form zu bringen, gäbe es da nicht folgenden Satz über Umkehrfunktionen von Funktionen:
$f:x [mm] \mapsto f\left( x \right)$ [/mm] habe die Umkehrfunktion [mm] $\bar [/mm] f:y [mm] \mapsto \bar f\left( y \right) [/mm] = x$. Wenn [mm] $y_0 [/mm] = [mm] f\left(x_0\right)$ [/mm] und [mm] $f'\left(x_0\right) \ne [/mm] 0$, so gilt: [m]\bar f'\left( {y_0 } \right) = \frac{1}{{f'\left( {x_0 } \right)}}[/m].
Diesen Satz benutzt man um Integrationsprobleme, wie das Obige zu lösen, denn es gilt nun:
[m]\arcsin '\left( {y_0 } \right) = \frac{1}
{{\sin '\left( {x_0 } \right)}} = \frac{1}
{{\cos \left( {x_0 } \right)}}\mathop = \limits^{\sin ^2 \left( x \right) + \cos ^2 \left( x \right) = 1} \frac{1}
{{\sqrt {1 - \sin ^2 x_0 } }} = \frac{1}
{{\sqrt {1 - y_0^2 } }}[/m]
Im Umkehrschluß gilt also: [m]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} = \arcsin x[/m]. Bei deiner Funktion müssen wir für das $u$ also so substituieren, daß die 9 z.B. ausgeklammert werden kann. Wie wäre es z.B. mit [mm] $u\left(x\right) [/mm] = 3x$? Versuch' das mal und melde dich dann nochmal, wenn Du Probleme hast, oder das Ergebnis überprüfen willst.
> Nr.2
> Bestimmen Sie die Stammfunktion
> [mm]g(x)=3-3\tan^{2}x[/mm]
> Wie kann ich hier [mm]3\tan^{2}x[/mm] umschreiben, damit es sich
> ableiten lässt.
Was meinst Du hier mit Ableiten? Du willst doch Integrieren.  Trotzdem ist deine Idee mit dem Ableiten gar nicht so schlecht. Es gilt nämlich:
[m]\tan '\left( x \right) = \frac{{\cos ^2 x + \sin ^2 x}}
{{\cos ^2 x}} = 1 + \tan ^2 x[/m] nach der Quotientenregel.
und damit:
[m]\int {\left( {1 + \tan ^2 \left( x \right)} \right)} dx = \int 1 dx + \int {\tan ^2 \left( x \right)} dx = \tan x \Leftrightarrow \int {\tan ^2 \left( x \right)} dx = \tan x - x[/m]
Beim Integrieren ist es oft nützlich abzuleiten um schlußendlich "aufzuleiten"  .
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 24.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo Karl,
zunächst mal besten Dank für die super Lösung ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") . Die zweite Aufgabe ist mir jetzt klar, aber bei der ersten happers noch.
Bei der Bildung der Umkehrfunktion $ [mm] \bar f'\left( {y_0 } \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{{f'\left( {x_0 } \right)}} [/mm] $ ist mir nicht klar wie du das $ [mm] \bar f'\left( {y_0 } \right) [/mm] $ erhältst. In diesem Bsp. $ [mm] \arcsin '\left( {y_0 } \right) [/mm] $ kannst du mir das bitte noch genauer erklären?
viele Grüsse
Rotzel
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Hallo rotzel,
> zunächst mal besten Dank für die super Lösung . Die
> zweite Aufgabe ist mir jetzt klar, aber bei der ersten
> happers noch.
Offenbar wolltest Du bei beiden Aufgaben integrieren, richtig? Oder wolltest Du bei der Nr. 2 doch ableiten? Für alle Fälle ist hier nochmal die Ableitung bei Nr.2 in Kürze:
[m]\begin{gathered}
f\left( x \right) = 3 - 3\tan ^2 x \hfill \\
f'\left( x \right) = \left[ {3 - 3\tan ^2 x} \right]'\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\texttt{Linearität der}} \\
{\texttt{Ableitung}}
\end{subarray}} \left[ { - 3\tan ^2 x} \right]' = - 3\underbrace {\left[ {\tan ^2 x} \right]'}_{{\texttt{Kettenregel}}} = - 3*\underbrace {2\tan x}_{\begin{subarray}{l}
{\texttt{äu{\ss}ere}} \\
{\texttt{Ableitung}}
\end{subarray}} \underbrace {\left( {1 + \tan ^2 x} \right)}_{{\texttt{innere Ableitung}}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
> Bei der Bildung der Umkehrfunktion [mm]\bar f'\left( {y_0 } \right) = \frac{1}{{f'\left( {x_0 } \right)}}[/mm]
> ist mir nicht klar wie du das [mm]\bar f'\left( {y_0 } \right)[/mm]
> erhältst. In diesem Bsp. [mm]\arcsin '\left( {y_0 } \right)[/mm]
> kannst du mir das bitte noch genauer erklären?
Ein Beweis für diesen Satz steht in jedem gängigen Analysis II - Skript. Bei der Anwendung kann man sich eine sogenannte Umkehrfunktion zu einer Funktion definieren, solange diese bestimmte Vorraussetzungen erfüllt. Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion sollte hier natürlich gegeben sein, da sonst der Satz nicht angewendet werden kann. Die andere Vorraussetzung ist, daß der Bruch bei der Ableitung im Nenner nicht 0 wird.
In unserem Fall definieren wir: [m]\sin :\mathbb{R} \to \left[ { - 1,1} \right] \Rightarrow \arcsin( x): = \overline {\sin }(x):\left[ - 1,1\right] \to \left[- \tfrac{\pi }{2},\tfrac{\pi }{2}\right][/m].
Denn der Sinus nimmt jede beliebige reelle Zahl und liefert dir einen Wert zwischen -1 und 1. Demnach müßte die Umkehrfunktion genau das Umgekehrte tun . Allerdings ist der Sinus periodisch zwischen [mm] $\pm\tfrac{\pi}{2}$, [/mm] weswegen die Umkehrfunktion dir auch nur Werte aus diesem Intervall liefern kann.
Und dann gilt der obige Satz, obwohl wir sonst erstmal nichts weiter über diese Umkehrfunktion wissen (außer, daß sie existiert). Wie der Satz dann angewendet wird, hast Du bereits gesehen. Die Vorgehensweise in Worten lautet:
1.) Nimm die Funktion [mm] $f\!$ [/mm] zu der abzuleitenden Umkehrfunktion.
2.) Bilde die erste Ableitung von [mm] $f\!$.
[/mm]
3.) Bilde den Kehrwert dieser Ableitung.
Viele Grüße
Karl
P.S. Falls Du dich an der Bezeichnung [mm] $\arcsin$ [/mm] störst, kannst Du die Umkehrfunktion auch anders nennen. Meinetwegen [mm] $\operatorname{rotzel}: \left[-1,1\right] \to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$. [/mm]
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
. Ja, bei der Aufgabe 2 habe ich wirklich ableiten geschrieben, aber wie du richtig erkannt hast, meinte ich natürlich integrieren.
