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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 21.09.2005 | | Autor: | elko |
Meine Frage ist eine kleine Generelle Frage!!
So zu erst mal zu meiner Ausgangslage! Ich bin momentan dabei mich mit der Intergralrechnung zu befassen!
Dies tue ich zu ersten mal, besitze also noch keine Vorkenntnisse in diesem Gebiet!
Als ich mich nun durch einigen Text der sich damit beschäftig durchgefressen habe stelt sich mir eine Frage:
Habe ich es Richtig aufgefasst, dass die Stammfunktion also F (F'=f
also das die Stammfunktion die ja abgeleitet wieder die ausgangs Funktion klein f ergibt) , einfach so zu berechnung einer Fläche benutzt werden kann indem mann die Grenzen einträgt und gegebenfalls von einander abzieht?
Generell gesehn fals die Funktion halt keine spezielle Funktion ist, wie z.B eine Funktion die die x achse unterbricht (Nullstelle), dabei muss mann ja die Grenze an der Nullstelle ansetzten und zwei mal integrieren, kann mann also ganz einfach die Fläche errechnen?
Irgendwie scheint mir das zu einfach, die zwei Grenzwerte einzusetzten und fertig!!
Gerade auch weil ich ein Mensch bin, der verstehn will warum so etwas klappt!!
Das die delta x sehr klein werden und dann addiert werden ist mir schon klar!!
Nur das die Stammfunktion dies alles alleine mach und mann nur zwei Grenzen eingibt stellt sich mir irgendwie zuleicht dar!!
Habe mir auch die ausführliche vorm angeschaut, die Wohl den Weg zur Stammfunktion erklärt, diese ist mir dann aber irgendwie durch den Weg wieder zu kompliziert!!
Die anleitung hierzu habe ich mir auf diesem link angeschaut http://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html
?????????????Meine Generelle Frage bleibt aber, kann mann von jeder Funktion von der mann die Stammfunktion ableiten kann, durch das einsetzten der Grenzen in die Stammfunktion, ganz einfach die Flächen innerhalb der grenzen berechnet bekommen????????????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier ein auszug vom Link Ausführliche anleitung zur Stammfunktion bzw Fläche /braucht aber zur beantwortung meiner Frage nicht berücksichtig zuwerden!!!!!!!!!:
Der Hauptsatz
Ist f stetig, so ist der Flächeinhalt unter dem Graphen von f eng mit der Stammfunktion von f verwandt. Um das einzusehen, definieren wir eine Funktion A, deren Werte Flächeninhalte sind: A(x) sei die Fläche unter dem Graphen von f zwischen der (festgehaltenen) Untergrenze a und einer (variablen) Obergrenze x im Intervall [a, b], d.h. das bestimmte Integral über f in den Grenzen von a bis x. Wir können A eine Flächenfunktion nennen. Die Fläche zwischen a und b, d.h. das bestimmte Integral (7), ergibt sich dann als Funktionswert A(b).
Wir untersuchen nun, wie sich A(x) unter einer kleinen Änderung von x verhält: Ändern wir x auf x + e, so ändert sich der Funktionswert von A(x) auf A(x + e). Die Differenz A(x + e) - A(x) hat eine einfache Bedeutung: Da in ihr die Fläche unter dem Graphen zwischen a und x zweimal mit jeweils unterschiedlichem Vorzeichen eingeht und daher wieder herausfällt, bleibt der Flächeninhalt des Streifens zwischen x und x + e übrig.
Ist e sehr klein, so ist dieser Streifen sehr schmal. Da f laut Voraussetzung stetig ist, sind alle Funktionswerte innerhalb des Intervalls [x, x + e] ungefähr gleich groß (und werden einander immer ähnlicher, je kleiner e ist). Der Flächeninhalt des Streifens kann daher durch jenen eines Rechtecks mit Seitenlängen e und f(x) approximiert werden. Auf diese Weise gelangen wir zur Abschätzung
A(x + e) - A(x) » e f(x)
(8)
stetig
*
stückweise stetig
für kleines e. Je kleiner e ist, umso genauer gilt diese Näherungsformel. Nun kommt ein kleiner Rechenschritt mit großen Konsequenzen: Wir dividieren beide Seiten durch e und bilden den Grenzwert für e ® 0,
A(x + e) - A(x)
--------------------------------------------------------------------------------
e = f(x) ,
lim
e ® 0
(9)
Grenzwert einer Funktion
(in Vorbereitung)
in dem die in (8) für e ¹ 0 noch vorhandene Ungenauigkeit verschwunden ist. Auf der linken Seite steht nichts anderes als die Ableitung von A(x):
A'(x) = f(x).
(10)
Die Ableitung (d.h. die Änderungsrate) der Flächenfunktion ist nichts anderes als die gegebene Funktion f. Mit anderen Worten: Ist f stetig, so ist die Flächenfunktion A eine Stammfunktion von f.
Damit sind wir mit einem Schlag in die Lage versetzt, die Inhalte von Flächen, die von Kurven begrenzt werden, berechnen zu können - sofern wir es schaffen, die dazu benötigten Stammfunktionen zu ermitteln: Angenommen, wir kennen eine Stammfunktion F von f. Dann unterscheiden sich A und F gemäß unserer obigen Erkenntnis (2) höchstens durch eine Konstante, so dass A(x) = F(x) + c. Da A(a) = 0 ist, folgt c = -F(a), und die gesuchte Fläche A(b) ist daher gleich A(b) = F(b) + c = F(b) - F(a). Für ihre Berechnung müssen wir lediglich irgendeine Stammfunktion von f kennen und die Differenz ihrer Werte an den Stellen b und a bilden. Für diese Differenz hat sich die Schreibweise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mi 21.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo elko.
Das siehst du vollkommen richtig, das die Ableitung der Stammfunktion, wieder die Ausgangsfunktion ergibt.
"Generell gesehn fals die Funktion halt keine spezielle Funktion ist, wie z.B eine Funktion die die x achse unterbricht (Nullstelle), dabei muss mann ja die Grenze an der Nullstelle ansetzten und zwei mal integrieren, kann mann also ganz einfach die Fläche errechnen? "
Auch das siehst du vollkommen richtig. Aufpassen musst du nur bei der Fragestellung, ob der Flächeninhalt, oder das Integral zu berechnen ist.(Nur beim Flächeninhalt musst du getrennt integrieren)
"Irgendwie scheint mir das zu einfach, die zwei Grenzwerte einzusetzten und fertig!! "
Nun ja, ich weiß jetzt nicht, wie weit ihr das Thema in der Berufsschule bearbeitet, aber glaub mir, dabei bleibt es nicht. Das geht, jedenfalls an der Uni, noch tief in die Analysis. 
Vielleicht macht ihr ja im Rahmen der Integralrechnung, noch partielle Integration, oder Integration einer Verkettung. Da sieht die Sache, eine Stammfunktion zu finden, schonmal was anders aus. (je nachdem wie die Funktion heißt)
"?????????????Meine Generelle Frage bleibt aber, kann mann von jeder Funktion von der mann die Stammfunktion ableiten kann, durch das einsetzten der Grenzen in die Stammfunktion, ganz einfach die Flächen innerhalb der grenzen berechnet bekommen???????????? "
Also die Frage kann ich dir nicht 100 prozentig beantworten. Also ich nehm an ihr behandelt nur Riemann-Integrierbare Funktionen. Jedoch sind nicht alle Funktionen Riemann-Integrierbar. Dann kommt man z.b in den Bereich des Lebesque-Integral, oder, noch eine Stufe weiter, zu den Perron-Integrierbaren Funktionen. In wie weit die allerdings alle Funktionen abdeken, kann ich dir noch nicht sagen. Da bin ich in meinem Studium noch nicht weit genug. Das jetzt hier auszubreiten dürfte allerdings an dieser Stelle zu weit führen
Wenn dich das Interessiert, kannst'e die ja mal demenstsprechende Literatur holen, und einfach mal was lesen.
Viele grüße Benno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 22.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo daniel
Ich bin begeistert davon, wie du an die mathe drangehst! Der Satz, dass man durch Bestimmen der Stammfunktion den Flächeninhalt unter einer komplizierten Kurve "einfach so" ausrechnen kann, ist wirklich einer der tollsten Sätze in dem Teil der Mathe., die sich Analysis nennt. Deshalb heisst er auch "Hauptsatz der Differential und Integralrechnung" Und Hauptsatz nennen Mathematiker sicher nur was, was wirklich toll und auch unerwartet ist. Also hast du direkt erkannt, dass das nicht selbverständlich und erwartet sondern erstaunlich ist. Die Mathematiker haben sich deshalb auch angestrengt es zu beweisen, und dass du den Beweis schwierig findest, wundert mich nicht! Aber du hast schon mal die richtige Einstellung zu der Sache, nämlich Staunen und Verwunderung! Damit fängt Spass an Mathe so richtig an! Und drum machen Leute Mathe, auf der Suche nach noch mehr solchen verwunderlichen aber beweisbaren Dingen!
Jetzt zu dem Beweis: Wenn du die Fläche unter f(x) durch Unterteilung in winzige Rechtecke berechnest und dann ein Ergebnis bis zu x=a hast, ich nenne es F(a), und jetzt noch ein kleines Stück dx weiter gehst, also F(a+dx) ausrechnestmusst du doch zu F(a) einfach noch f(a)*dx addieren. (Zeichne es auf, dann verstehst du ,was ich meine) Also ist F(a+dx)=F(a)+f(a)*dx.
Andererseits stell dir vor du hast F(a) schon für alle a von 0 bis 20 oder 0 bis x ausgerechnet. Dann ist doch F eine Funktion der Größe a oder x. Also kann ich von F(x) reden, wenn ich den Flächeninhalt von 0 bis x meine. Wenn ich die Ableitung dieser Funktionan der Stelle a suche, bestimme ich die Steigung von Sehnen über immer kleinerer Länge: also ( F(a+dx)-F(a))/dx. und jetzt spring wieder nach oben, da haben wir ausgerechnet, dass F(a+dx)-F(a)=f(a)*dx
also : ( F(a+dx)-F(a))/dx = f(a) links steht die Ableitung von F an der Stelle a (wenn dx beliebig klein wird) rechts steht f(a).
Damit haben wir klar gemacht, dass die Ableitung der "Flächenfunktion" die Funktion gibt, unter der wir die Fläche gefunden haben. Wenn man also eine Funktion kennt, deren Ableitung f ist, kann man die Fläche damit berechnen.
Der Beweis ist im Sinne der Mathematiker nicht ganz exakt, wel überall Grenzübergäng fehlen, er soll dir ja aber nur die richtige Idee vermitteln.
Und wenn du dich wieder über was wunderst, wir freuen uns über solche Fragen!!
Gruss leduart
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