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Hallo an alle Mathefreaks!! =)
Ich habe eine Aufgabe von meinem Lehrer bekommen und weiß nicht wirklich wie ich da ran gehen soll... =(
Aufgabe:
Gibt es eine reelle Zahl a, die als Grenzwert eines [mm] \infty [/mm] langen Integrationsbereiches auftreten kann, also
[mm] \limes_{x_{2}\rightarrow\infty} \integral_{x_{1}}^{x_{2}} [/mm] {f(x) dx}=a
a steht in diesem Fall für die Fläche!!
Eine Fläche berechnet man doch normalerweise, indem man die 2 Funktionsgleichungen miteinander gleichsetzt, aber hier habe ich doch nur eine...
Mein Lehrer hatte gesagt, dass der Graph eine Hyperbel sein soll, die im ersten Quadranten verläuft... So hatte er das zumindestens skizziert!!
Außerdem soll sich der Graph wie an eine Asymptote an die x-Achse annähern...
Das Beispiel mit dem das berechnet werden soll lautet:
f(x)= [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] und [mm] x_{1}=1
[/mm]
Hat irgendwer eine Ahnung wie das geht?? Bin schon total am verzweifeln...
Vielen Dank im Voraus!!
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Ja, sowas mussten wir auchmal machen. Wenn der obere Grenzwert des Integrals gegen Unendlich geht, dann hängt es von der Konvergenzgeschwindigkeit der Funktion ab. Als Beispiel.
[mm] \integral_{a}^{ \infty} {\bruch{1}{x} dx} [/mm] hat keinen Grenzwert, da die Funktion nicht schnell genug gegen Unendlich geht. (ja, ich weiß, die Formulierung ist sehr umgangssprachlich und mathematisch nicht sauber, aber ich fang ja auch gerade erst mit dem Studium an)
Hingegen bei
[mm] \integral_{a}^{ \infty} {\bruch{1}{x^{2}} dx} [/mm] hat einen Grenzwert, weil das [mm] x^{2} [/mm] schneller gegen Unendlich geht. Bleibt nur noch die Frage, wie man das Berechnen muss:
[mm] \integral_{1}^{b} {\bruch{1}{x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}
[/mm]
= [mm] [-\bruch{1}{x}] [/mm] obere Grenze ist Unendlich, untere ist die 1. Die Stammfunktion von f(x)= [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] F(x)= [mm] -\bruch{1}{x} [/mm] geht für x gegen Unendlich gegen Null und für 1 ist sie =(-1). Also musst Du die Grenzen nur noch einsetzen und subtrahieren. Zuerst die [mm] \infty [/mm] und dann die 1. Macht also
0-(-1)=1 Der Grenzwert des Integrals beträgt also 1 bei gegebenen Grenzen.
Hoffe, keine Fehler gemacht zu haben.
Gruß
Alex
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Also ist die 1, die da als Ergebnis herauskommt, die reelle Zahl a, die als Grenzwert des Integrationsbereiches auftreten kann, oder??
Also hat der Graph einen Flächeninhalt von a=1??
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> Also ist die 1, die da als Ergebnis herauskommt, die reelle
> Zahl a, die als Grenzwert des Integrationsbereiches
> auftreten kann, oder??
>
> Also hat der Graph einen Flächeninhalt von a=1??
Ja genau:
$ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{1}^{b} {\frac{1}{x^2} dx}= \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] 1- [mm] \frac{1}{b} [/mm] = 1
Also ist der Flächeninhalt 1.
mfg,
martin
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