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| Aufgabe | | Ein rechteckiger Staudamm ist 30 m breit; der Wasserspiegel im Stausee misst 25 m. Berechnen Sie die horizontale Gesamtkraft auf den Damm, die durch Wasser- und Luftdruck hervorgerufen wird. |
Hallo, ich hab bei diesem Beispiel einen Lösungsweg gegeben. ich habe aber Probleme diesen nach zu vollziehen:
Wir betrachten die Kraft auf einen l = 30 m breiten Streifen mit der Höhe dh und der Fläche dA = ldh, der sich in der Höhe h uner der Wasseroberfläche befindet, und integrieren dann von h = 0 bis h = [mm] h_{0} [/mm] = 25 m. Der Wasserdruck in der Tife h beträgt [mm] P_{at}+\rhogh [/mm] mit dem atmosphärischen Druck [mm] P_{at}.
[/mm]
1.) Drücken Sie die Kraft dF auf einen Streifen der Breite l mit der Höhe dh mithilfe des Drucks [mm] P_{at}+\rhohg, [/mm] den die Wassermassen auf den Damm ausüben:
[mm] dF=PdA=(P_{at}+\rho [/mm] gh)ldh
2.) Integrieren Sie von h=0 bis [mm] h=h_{0}. [/mm] Damit erhalten Sie die Horizontalkomponente der Kraft, die das Wasser auf den Damm ausübt.
[mm] F=\integral_{h=0}^{h=h_{0}}{}
[/mm]
[mm] dF=\integral_{0}^{h_{0}}{(P_{at}+\rho gh)l dh}
[/mm]
= [mm] P_{at}lh_{0}+\bruch{1}{2}\rho glh_{0}^2
[/mm]
Bei 1.) komm ich noch so in etwa mit, aber bei 2.) steig ich aus.
Also ich Integriere, um die Kraft für die gesamte Höhe zu erhalten oder? Ich scheitere vor allem beim Nachvollziehen der Integration, irgendwie schaff ich den Transfer von Mathe zur Physik nicht... könnte ihr mir diese Integration schrittweise erklären oder mit mir durchgehen, damit ich das Vorgehen verstehen kann. Dieses Beispiel ist exemplarisch für viele... ich scheitere immer beim Integrieren, obwohl ich die Integralrechnung eigentlich kann...
Das Beispiel geht dann noch weiter, aber solange ich nicht die ersten Punkte versteh, brauche ich da gar nicht weiter machen.
Danke schon mal für eure Hilfe...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 05.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur Integration. Das Integral ist ja nur der GW einer Summe.
Stell dir die 25m Höhe des Wassers erstmal in z.B [mm] \Delta [/mm] h=1cm stücke vor, dann hast du auf dem ersten (obersten) cm nur den Druck von [mm] P=P_{at}+1cm*g*\rho [/mm] die Kraft F=P*A=P*1cm*30m, auf dem nächsten cm dann [mm] P=P_{at}+2cm*g*\rho
[/mm]
usw, wegen der 25m=2500cm hast du dann 2500 summanden.
wenn du genauer rechnen willst nimm jeweisl nur 1mm dann hast du 25000 Summanden, schließlich nimmst du keine konkrete Zahl sondern einfach dh staat der 1cm oder 1mm. In der Tiefe [mm] h_1 [/mm] hast du dann den Druck [mm] P=P_{at}+g*h_1*\rho [/mm] der auf die Fläche dA=dh*30m wirkt. also den Kraftanteil dF=P*30m*dh jetzt hast du so viele Summanden, dass du lieber den GW also das Integral ausrechnest.du fängst an bei der Höhe 0 und addierst alle Kräfte bis [mm] h=h_0=25m
[/mm]
(Fehler aus der Schule: dort wird das Integral meist nur zur Bestimmung von Flächen unter Graphen benutzt, und es geht verloren, dass es eigentlich eine Summe , bzw der GW einer Summe ist (in der Schule immer über "Recjtecke der Höhe f(x) und der Breite dx.)
Also vergiss diesen Flächeninhaltsgedanken und denk an Integrale immer als Summen (so rechnet man sie auch numerisch aus, wenn man keine "Stammfkt" kennt!)
Gruß leduart
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Super, danke schon mal für deine Antwort. Was mich bei diesem Beispiel noch interessiert ist der Zusammenhang mit dem Luftdruck, welcher von außen auf die Mauer drückt. Er wird im Bsp zwar berechnet, aber im Endefekt wird dieser dann vom Innendruck abgezogen und es bleibt nur
[mm] \bruch{1}{2}\rho glh_{0}^2
[/mm]
über. Kann ich dann nicht einfach sagen, ich lasse den Luftdruck weg, weil er sich aufhebt, und integriere nur
[mm] \integral_{0}^{h_{0}}{\rho ghl dh}
[/mm]
denn da kommt dann ja das selbe raus. Oder bin ich da auf dem Holzweg?
Danke schon mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 Mo 06.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Luftdruck hebt sich nicht auf, auf die Wasserseite der Staumauer wirkt er, aber auch auf der "Luftseite" des Damms, so dass die 2 entgegengesetzten kräfte höchstens das Dammmaterial zusammendrücken. natürlich kann man deshalb den luftdruck auch einfach weglassen, wenn man die Gesamtkraft auf den Staudamm berechnet. Aber in der Rechnung ging es ja um die Gesamtkraft auf der Wasserseite des Damms und da gehört er dazu.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Di 07.01.2014 | | Autor: | marc518205 |
ok, super danke.
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