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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:06 Do 11.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Die Grundform eines "Klostergewölbes" entsteht durch Schnitt zweier kongruender Halbzylinder, deren Achsin sich im rechten Winkel schneiden.
Bestimmen Sie das Vorum des überwölbten Raumes bei gegebenen Zylinderradius R.
(Anleitung: Skizziere Grund- und Aufriss, finde geeignete Elementarkörper und Integriere)
Vergleiche mit dem Volumen einer Halbkugel |
Das ist die Aufgabe die mein Nachhilfeschüler bekommen hat.
Das skizzieren der beiden Zeichnungen ist kein Problem, ich hab auch verstanden wie das Ding aussehen soll. Im endeffekt ein bischen wie ein Pyramide, nur dass die Seitenflächen gebogene Dreieicke sind.
Ich weiß allerdings überhaupt nicht wie ich da was integrieren soll ...
Vllt kann mir jmd einen Tipp geben, wie man so ein Problem am besten angeht.
Lg, Xtraxtra
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> Die Grundform eines "Klostergewölbes" entsteht durch
> Schnitt zweier kongruenter Halbzylinder, deren Achsen sich
> im rechten Winkel schneiden.
> Bestimmen Sie das Volumen des überwölbten Raumes bei
> gegebenen Zylinderradius R.
> (Anleitung: Skizziere Grund- und Aufriss, finde geeignete
> Elementarkörper und integriere)
>
> Vergleiche mit dem Volumen einer Halbkugel
> Das Skizzieren der beiden Zeichnungen ist kein Problem,
> ich hab auch verstanden wie das Ding aussehen soll. Im
> Endeffekt ein bischen wie ein Pyramide, nur dass die
> Seitenflächen gebogene Dreieicke sind.
>
> Ich weiß allerdings überhaupt nicht wie ich da was
> integrieren soll ...
Guten Morgen Xtraxtra,
wenn man eine solche gekrümmte "Pyramide" ähnlich
wie eine der ägyptischen Pyramiden aus massivem
Mauerwerk aufbauen würde (*), hätten die horizontal
liegenden Steinschichten quadratische Grundflächen.
Wenn du dir überlegst, welchen Inhalt eine Schicht
der Dicke [mm] \Delta{x} [/mm] in der Höhe x über dem Boden hat, hast
du schon alles Nötige für die Integration beisammen.
LG Al-Chwarizmi
(*) Für ein wirkliches "Klostergewölbe" baute man
natürlich nicht eine massive Steinpyramide auf, son-
dern stellte wohl zuerst ein hölzernes Lehrgerüst in
dieser Form auf, um dann darauf das steinerne Ge-
wölbe aufzumauern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 11.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ok, das mit den Quadratischen Grundflächen ist mir klar. Wenn ich jetzt, die begobene Pyramide in lauter horizontale Schichten erschneide haben ich ja unten eine Grundfläche, diese hat die Fläche: [mm] \wurzel{2R²}.
[/mm]
Wenn ich jetzt hier ein kleines Stückchen weiter oben den Schnitt mache bekomme ich ja eine Schnittfläche, die ein klein wenig kleiner ist als die Grundfläche, allerdings weiß ich nicht, wie ich diese Schnittfläche berechnen kann. Auf für das Volum dieser Fläche hätte ich dann sowas gemacht wie:
[mm] \bruch{A_{Grundfläche}*A_{Schnittfläche}}{2}\Delta [/mm] x
Aber ich glaube hier ist noch ein klein wenig mehr Hilfe notwendig.
Die Überlegung habe ich verstanden, aber an der mathematischen Umsetzung scheitert es leider noch.
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> Ok, das mit den Quadratischen Grundflächen ist mir klar.
> Wenn ich jetzt, die gebogene Pyramide in lauter horizontale
> Schichten zerschneide haben ich ja unten eine Grundfläche,
> diese hat die Fläche: [mm]\wurzel{2R²}.[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Diese Grundfläche ist doch ein Quadrat, dessen
Seitenlänge dem Zylinderdurchmesser entspricht !
> Wenn ich jetzt hier ein kleines Stückchen weiter oben den
> Schnitt mache bekomme ich ja eine Schnittfläche, die ein
> klein wenig kleiner ist als die Grundfläche, allerdings
> weiß ich nicht, wie ich diese Schnittfläche berechnen kann.
Für die Integration überlegst du dir am besten, wie ein
Schnitt in einer beliebigen Höhe x (mit [mm] 0\le x\le [/mm] R) über
dem Boden aussieht. In einer Seitenansicht des Gewölbes
kannst du dir mittels Pythagoras klar machen, welche
Seitenlänge und welchen Flächeninhalt Q(x) das entspre-
chende Quadrat hat. Für das Volumen V des Innenraums
des Gewölbes ergibt sich dann:
$\ [mm] V=\integral_{x=0}^{R}Q(x)\,dx$
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 11.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Also ich denke die Seitenlänge müsst ich schon richtig gesagt haben:
Hier ist mal die Aufgabe:
![[]](/images/popup.gif) Aufgabe
Demzufolge ist doch die Diagnale der Grundfläche gleich dem Durchmesser des Zylinders, oder?
Dann müsste das was ich gerechnet habe doch stimmen, oder nicht?
Jedoch ist mir immernoch nicht klar, wie ich auf den Flächeninhalt der Schnittflächen kommen soll.
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> Also ich denke die Seitenlänge müsst ich schon richtig
> gesagt haben:
> Hier ist mal die Aufgabe:
>
> Aufgabe
> Demzufolge ist doch die Diagnale der Grundfläche gleich
> dem Durchmesser des Zylinders, oder?
> Dann müsste das was ich gerechnet habe doch stimmen, oder
> nicht?
> Jedoch ist mir immer noch nicht klar, wie ich auf den
> Flächeninhalt der Schnittflächen kommen soll.
Jetzt hättest du mich schon fast auf dem linken Fuß
erwischt, und ich musste meine eigene Skizze nochmal
genau anschauen.
Du solltest dir aber klar machen, wie die beiden sich
kreuzenden Zylinder in der Zeichnung aus dem Buch
liegen würden. Beachte insbesondere, dass die beiden
dort zu sehenden Bögen, die sich im Scheitel des
Gewölbes kreuzen, keine Halbkreise sind, sondern
Ellipsenbögen, welche schräg über die beiden Zylin-
dermäntel laufen !
Der Zylinderdurchmesser entspricht nicht der Dia-
gonale, sondern der Seitenlänge des Grundquadrates.
Mache dir eine Zeichnung in Blickrichtung einer
Zylinderachse ! Dort siehst du die Gewölbewand
als Halbkreis und kannst nun in beliebiger Höhe x
[mm] (0\le x\le [/mm] R) einen horizontalen Schnitt legen. Die
Länge der dadurch erzeugten Sehne ist [mm] s=2*\sqrt{R^2-x^2},
[/mm]
und das Quadrat davon ist Q(x).
Gruß Al-Chw.
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![[]](http://img198.imageshack.us/img198/949/aufgabe.jpg){kind=small}
Aufgabe