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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Waltraud |
| Aufgabe | Lösen die das folgende Integral durch Substitution:
[mm] \integral_{0}^{1} (1+2x)^3\dx [/mm] |
Hallo ihrs, ich habe also substitution folgendes mir gedacht.
g:x --> t = 1+2x und f: t--> [mm] t^3
[/mm]
Bin ich da auf dem richtigen Weg und wie gehe ich weiter voran?
Bitte um Hilfe. Danke Gruß Waltraud
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:16 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Hi,
wenn du die Aufgabe mit Substtution lösen willst, must du darauf achten, nicht nur den Term, sondern auch das dx umzuformen.
Wenn du jetzt für (1+2x)=t setzt, kannst du nicht dx stehen lassen, da das dx angibt, welche Variable du integrierst. Deshalb musst du umformen! Dabei hilt dir folgende Regel:
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = t'
in deinem Fall heißt das: [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 2
Daraus folgt: dx= [mm] \bruch{dt}{2}
[/mm]
Dann lautet dein Integral: [mm] \integral_{0}^{1}{t³ \bruch{dt}{2} }
[/mm]
Dann integrierst du ganz normal und resubstituierst dann, et voila, fertig!
Bem. Ich hab's nochmal kurz durchgerechnet und das Ergebnis müsste 10 Flächeneinheiten (FE) sein. Hoffe, mir ist dabei kein Schusselfehler unterlaufen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Waltraud |
Also hier mal meinen Rechenweg
Ich bekomme da nur 9 raus.
g:x --> t = 2x+1
f:t ---> t³
Stammfunktion zu f ist : F: t--> 1/3 * [mm] t^4
[/mm]
dann Kettenregel
(F ^g)(x) = F (g(x)) = 1/3 * (2x +1) ^4
Differenzieren nach Kettenregel
(F°g)' (x) = 4/3 * t³ *2 = f(g(x))* g'(x) = t³ *2 = (2x +1)³ *2
das würde bei mir dann unter dem Integral stehen.
es folgt weiter:
(F°g)'(x) dx = (F°g) (1) - (F°g) (0)
=> F(g(1)) - F (g(0)) = 1/3 * (2*1 [mm] +1)^4 [/mm] - 1/3 * (2*0 [mm] -1)^4
[/mm]
=> 1/3 [mm] *(3)^4 [/mm] - 1/3 [mm] *(0)^4
[/mm]
=> 1/3 * 27 - 1/3 *0
=> 9 -0
Endergebnis = 9
Ich weiß nicht ob ich da was falsch gemacht habe.
Ich bitte wenn ja um Korrektur.
Danke Waltraud
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 23.10.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi,
also ich schreibe alles einmal neu, denn du hast schon am Anfang einen Fehler gemacht, außerdem machst du diese Berechnung zu kompliziert:
[mm] \integral_{0}^{1}{(1+2x)^{3} dx}
[/mm]
u=1+2x
u'=2
du/dx=u'
dx=du/u'
dx=du/2
[mm] \integral{u^{3} \bruch{du}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{u^{3} du}
[/mm]
[mm] u^{3} [/mm] integriert ergibt folgendes!!!!!!:
[mm] \bruch{1}{4}*u^{4}
[/mm]
daher:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}*u^{4}
[/mm]
[mm] \bruch{u^{4}}{8}
[/mm]
[mm] [\bruch{(1+2x)^{4}}{8}]_{0}^{1}
[/mm]
eingesetzt ergibt dies:
81/8-1/8 =10
Grüße
Stefan
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 20:32 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Nochmal, nach der Substitution sieht das Integral NICHT so aus:
[mm]\integral_{0}^{1}{u^{3} \bruch{du}{2}}[/mm]
Das ist falsch.
Es ist:
[mm]\integral_{1}^{3}{u^{3} \bruch{du}{2}}[/mm]
Dann brauchst du auch nicht zurücksubstituieren.
Gruß,
Gono.
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(Korrektur) Korrekturmitteilung | | Datum: | 21:12 Mo 23.10.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi,
naja, aber es funktioniert ja auch nach meiner Methode.
Gruß
Stefan
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(Korrektur) Korrekturmitteilung | | Datum: | 19:24 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Man darf natürlich nicht vergessen, die Integralgrenzen anzupassen 
D.h. das Substituierte Integral geht nicht von 0 bis 1, sondern dann von 1 bis 3.
Gruß,
Gono.
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(Korrektur) Korrekturmitteilung | | Datum: | 19:28 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Waltraud |
Hallo noch mal
ab wo muss ich die grenzen von 1 bis 3 beachten.
Kannst du mir das mal anhand meiner rechnung hier auf schreiben?
Falls meine Rechnung überhaupt richtig ist?
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(Korrektur) Korrekturmitteilung | | Datum: | 19:45 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Nienor arbeitet gerade an einer Antwort, warten wir diese erstmal ab 
Gruß,
Gono.
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