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| Aufgabe | Für k>0 ist die Funktion fk gegeben durch fk(x)=k(-x³+3x+4).
Bestimme k so, dass der Graph von fk mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Inhalt von 45 einschließt.
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Hallo! Das Ziel ist mir im Prinzip klar:
Ich stelle die Tangentenfunktion auf und subtrahiere f(x), dann Stammfunktion bilden und der Rest läuft.
Bisher hab ich also...
- den Hochpunkt bestimmt HP(1/6k)
- und die Tangentenfunktion t(x)=6k
Jetzt frag ich mich, woher ich, ohne Schaubild, wissen soll ob ich die Schnittstellen der beiden Funktionen oder die Nullstellen berechnen muss. Falls es die Nullstellen sind: Wie kann ich bei einer Parameterfunktion die Polynomdivision machen, wenn ich nicht weiß, was die erste Nullstelle ist? Ein Lösungsweg bei einer ähnlichen Aufgaben war zuerst die Schnittpunkte per Gleichsetzen zu ermitteln und dann mit dem Ergebnis die Polynomivision...wie soll ich das verstehen? Das Resultat vom Gleichsetzen wäre: -kx³+3kx-2k Das ist eine neue Funktion!! und deren Nullstellen sollen mich auf den richtigen Weg bringen??
Ich wäre euch für Hilfe wirklich dankbar, nächste Woche ist mein Abi :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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wow vielen Dank für die schnelle Antwort!
Gut dann würde ich die Schnittpunkte der beiden Graphen als Integralgrenzen nehmen. Ich verstehe aber immer noch nicht durch was ich bei der Polynomdivision teilen soll, wenn ich keine Nullstelle habe...wenn´s dann klappt, liefert die mir die x-Koordinate für einen oder mehrere Schnittpunkte, soweit richtig? mhm das x, das du als Lösung vorschlägst, ist doch vom Hochpunkt?
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Hallo BlablaBison,
> wow vielen Dank für die schnelle Antwort!
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> Gut dann würde ich die Schnittpunkte der beiden Graphen
> als Integralgrenzen nehmen. Ich verstehe aber immer noch
> nicht durch was ich bei der Polynomdivision teilen soll,
> wenn ich keine Nullstelle habe...wenn´s dann klappt,
> liefert die mir die x-Koordinate für einen oder mehrere
> Schnittpunkte, soweit richtig? mhm das x, das du als
> Lösung vorschlägst, ist doch vom Hochpunkt?
Nun, eine Nullstelle von
[mm] x^3-3\cdot{}x+2 \ = \ 0[/mm]
ist [mm]x_{e}=1[/mm], die, wie mein Vorredner schon schrieb, doppelt vorkommt.
[mm]x_{e}=1[/mm] ist hier der Hochpunkt.
Um die fehlende Nullstelle zu bestimmen, führst Du eine Polynomdivison durch:
[mm]\left(x^3-3\cdot{}x+2 \right):\left(x-1\right) = a*x^{2}+b*x+c[/mm]
[mm]\left(a*x^{2}+b*x+c\right):\left(x-1\right) = d*x+e[/mm]
Somit ist [mm]x=-\bruch{e}{d}[/mm] die fehlende Nullstelle.
Und damit hast Du die Grenzen für das Integral festgelegt.
Gruss
MathePower
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tut mir Leid, dass ich gestern nicht mehr antworten konnte. Auch wenn daher vllt. der gegensätzliche Ausdruck rüberkam, ich bin beeindruckt von eurem Forum und will auch ab und zu in die sprachliche Sparte schauen, wo eher meine Stärken liegen. Hier brauch ich aber nochmal eure Hilfe:
Die Aufgabe hab´ich nun verstanden und gelöst, trotzdem ist mir nicht ganz klar wie ich allgemein zu verfahren habe bei der Bestimmung der Intervallgrenzen...
Loddar schrieb bei der Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen müsse ich die Schnittpunkte berechnen...trotzdem hab' ich die Intervalle hier mit den Nullstellen bestimmt.
Allgemein:
FE berechnen, den der Graph mit x-Achse einschließt:
1. Nullstellen --> Intervalle
2. beliebige Punkte berechnen um die VZ der Intervalle zu bestimmen
--> wenn negativ -->MINUS vor das Integral (??)
FE zwischen 2 Graphen
- Gleichsetzen, --> Schnittpunkte = Intervallgrenzen
Falls beim Gleichsetzen...
...eine Zahl rauskommt --> 1Schnittpunkt
...Quatsch rauskommt --> kein Schnittpunkt
...eine Gleichung rauskommt, so wie hier --> ???
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Hallo!
> Loddar schrieb bei der Flächenberechnung zwischen zwei
> Funktionen müsse ich die Schnittpunkte
> berechnen...trotzdem hab' ich die Intervalle hier mit den
> Nullstellen bestimmt.
Weil Gleichsetzen natürlich in gewisser Weise dasselbe ist wie Nullstellen suchen!
Wenn du zwei Funktionen f(x) und g(x) hast, und wissen willst, wo die Schnittpunkte haben, setzt du sie gleich:
$f(x) = g(x)$
Das ist aber gleichbedeutend mit der Nullstellensuche bei der Funktion $f(x)-g(x)$:
$f(x)-g(x) = 0$
> Allgemein:
>
> FE berechnen, den der Graph mit x-Achse einschließt:
> 1. Nullstellen --> Intervalle
> 2. beliebige Punkte berechnen um die VZ der Intervalle zu
> bestimmen
> --> wenn negativ -->MINUS vor das Integral (??)
Genau.
Wenn du einen Flächeninhalt berechnen sollst, kannst du grundsätzlich eigentlich dein Ergebnis immer positiv machen, sollte es negativ sein.
> FE zwischen 2 Graphen
> - Gleichsetzen, --> Schnittpunkte = Intervallgrenzen
>
> Falls beim Gleichsetzen...
> ...eine Zahl rauskommt --> 1Schnittpunkt
Es sollten mindestens zwei Schnittpunkte rauskommen, sonst macht das ganze keinen Sinn (man erhält ja kein Intervall)
> ...Quatsch rauskommt --> kein Schnittpunkt
> ...eine Gleichung rauskommt, so wie hier --> ???
Du suchst immer nach Schnittpunkten! Eine Gleichung kommt doch so oder so raus, das ist beim Gleichsetzen typisch 
Du musst immer nach "x" umstellen, um die Schnittstellen zu finden.
Also neues Patentrezept:
- Funktionen f(x) und g(x) gleichsetzen
- Gleichung f(x)=g(x) nach x umstellen --> Intervalle.
- Integral von f(x)-g(x) über das Intervall ausrechnen; danach positiv machen (minus weg).
Grüße,
Stefan
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VIELEN DANK: ALLES KLAR :)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Polynomdivision