Integralrechnung, nur wie? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 12.05.2007 | | Autor: | SHiRKAN |
| Aufgabe | 1 Geben Sie die Stammfunktion an:
f(x)=4
f(x)=3/5x-3
f(x)=7/3x²+4,4x-2
f(x)=ax²+bx+c/x³
2 Integrieren Sie:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}(x-2)dx
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}(2r-3r²)dr
[/mm]
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hi,
für die abschlussprüfung der höha in mathe, muss ich ein bisschen integralrechnung können. nun, die betonung liegt auf "sollte können", denn ich weiß nicht wirklich wie das geht.
zu 1, ich weiß zwar das man aufleiten muss um die stammfunktion zu erhalten, aber wie genau das geht ist mir fremd, gibt es evtl einen simplen tick um solche aufgaben zu lösen und auf die stammfunktion zu kommen?
zu 2: hier weiß ich leider absolut nicht weiter, wir haben diese fälle nur ganz kurz im unterricht angesprochen und ich habe es auch da net verstanden, wie gehe ich bei so etwas vor?
3. für die prüfung brauchen wir die integralrechnung um flächeninhalte bestimmter abschnitte zu errechnen, wie sieht es dann aus? wie muss ich die integral gleichung dann aufstellen und wie rechne ich sie aus? (eine beispielaufgabe wäre hier echt genial)
danke für eure hilfe im vorraus!
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Hi, Shirkan,
> 1 Geben Sie die Stammfunktion an:
> f(x)=4
> f(x)=3/5x-3
> f(x)=7/3x²+4,4x-2
> f(x)=ax²+bx+c/x³
> 2 Integrieren Sie:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}(x-2)dx[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}(2r-3r²)dr[/mm]
> zu 1, ich weiß zwar das man aufleiten muss um die
> stammfunktion zu erhalten, aber wie genau das geht ist mir
> fremd, gibt es evtl einen simplen tick um solche aufgaben
> zu lösen und auf die stammfunktion zu kommen?
Tricks gibt's nicht, aber einfache Regeln.
Dass bei jedem unbestimmten Integral ("Stammfunktion") am Ende noch "+c" als Konstante steht, vernachlässige ich jetzt mal.
Nun die wichtigen Regeln - Deine Vorgewhensweise:
(1) Beim Integrieren einer Konstanten (z.B. Aufgabe 1a) kommt einfach ein x (bzw. die Integrationsvariable) dazu:
So wird aus 4 einfach 4x.
(2) Jede x-Potenz wird zunächst um 1 vergrößert (aus x wird [mm] x^{2}, [/mm] aus [mm] x^{2} [/mm] wird [mm] x^{3} [/mm] usw.) und anschließend schreibst Du die neue Hochzahl in den Nenner eines Bruches vor das Ergebnis.
Beispiel: Stammfunktion zu x ist [mm] \bruch{1}{2}*x^{2} [/mm]
("Aus 1 mach 2 und schreib' die 2 in den Nenner davor")
oder: Stammfunktion zu [mm] x^{3} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{4}x^{4}
[/mm]
("Aus 3 mach 4 und schreib' die 4 in den Nenner davor")
> zu 2: hier weiß ich leider absolut nicht weiter, wir haben
> diese fälle nur ganz kurz im unterricht angesprochen und
> ich habe es auch da net verstanden, wie gehe ich bei so
> etwas vor?
Ich vermute, es geht auch hier um die Stammfunktion und somit müsste die Schreibweise lauten:
> [mm]\integral{(x-2)dx}[/mm]
> [mm]\integral{(2r-3r²)dr}[/mm]
Das "dx" oder "dr" sagt Dir, welcher Buchstabe als Integrationsvariable auftritt.
Ansonsten wird "integriert", wie ich Dir's oben erklärt habe:
a) Aus x wird - wie oben erklärt - einfach [mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] und zur Konstanten 2 kommt ein x dazu. Ergebnis also:
[mm] \integral{(x-2)dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] - 2x +c.
(Das [eigentlich recht unwichtige!] c schreibt man am Ende noch dazu!)
b) Diesmal ist die Integrationsvariable r, diese tritt an die Stelle des x; sonst alles wie gehabt:
Aus r wird demnach [mm] \bruch{1}{2}r^{2}, [/mm] aus [mm] r^{2} [/mm] wird [mm] \bruch{1}{3}r^{3}; [/mm] die anderen Zahlen bleiben erhalten:
[mm] \integral{(2r-3r²)dr} [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{2}r^{2} [/mm] - [mm] 3*\bruch{1}{3}r^{3} [/mm] + c
und kürzen kannst Du das ja sicher selbst!
> 3. für die prüfung brauchen wir die integralrechnung um
> flächeninhalte bestimmter abschnitte zu errechnen, wie
> sieht es dann aus? wie muss ich die integral gleichung dann
> aufstellen und wie rechne ich sie aus? (eine
> beispielaufgabe wäre hier echt genial)
Wenn Du die Fläche einer positiven Funktion zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse in einem "bestimmten Abschnitt", also zwischen zwei senkrechten Geraden, berechnen sollst, musst Du:
(1) eine Stammfunktion ausrechnen (geht wie oben beschrieben, das c ist dann überflüssig!)
(2) erst die Obergrenze einsetzen, dann die Untergrenze einsetzen und
(3) diese beiden Zahlen voneinander abziehen.
Die Schreibweise sieht dabei so aus: (Beispiel!)
[mm] \integral_{1}^{3}{(x^{2} + 2) dx}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] 2x]_{1}^{3} [/mm]
(Wie Du siehst, hab' ich zwischen die eckigen Klammern die Stammfunktion geschrieben - hättest Du das jetzt auch gekonnt?!
Und nun setze ich erst die 3, dann die 1 ein - das ergibt die beiden Klammern - und ziehe beides voneinander ab.)
= [mm] (\bruch{1}{3}*3^{3}+2*3) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{3}*1 [/mm] + 2*1)
= (9 + 6) - (2 + [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] = 12 [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Reicht Dir das?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 13.05.2007 | | Autor: | SHiRKAN |
vielen dank für die antworten, haben mir echt weitergeholfen, kann jetzt schon ein bisel den kram^^
nur bei dieser "nase" kommt da immer die größere zahl nach oben und die kleine nach unten? und woher weiß ich welche zahlen ich da nehmen muss, wenn ich sie aus einer aufgabe ermitteln muss? also wie erkenne ich in welchem integral ich rechnen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 So 13.05.2007 | | Autor: | Kroni |
> vielen dank für die antworten, haben mir echt
> weitergeholfen, kann jetzt schon ein bisel den kram^^
>
> nur bei dieser "nase" kommt da immer die größere zahl nach
> oben und die kleine nach unten?
Hi, ja, die Zahlen dort sind die Integrationsgrenzen, und unten steht dann immer die kleinere Zahl und oben die größere (im Allgemeinen).
>und woher weiß ich welche
> zahlen ich da nehmen muss, wenn ich sie aus einer aufgabe
> ermitteln muss? also wie erkenne ich in welchem integral
> ich rechnen muss?
Das musst du immer aus der passenden Aufgabe ermitteln. Das kann man so allgemein nicht sagen.
LG
Kroni
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