Integralsatz von Gauß < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Mathi123 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich verstehe den Integralsatz von Gauß absolut nicht.
Wann und wo wird er angewandt und wie kann ich mir diesen Satz graphisch vorstellen.
Es wäre wunderbar wenn mir jemand auch ein Beispiel dazu sagen könnte.
Kann mir jemand helfen? Vielen Dank im Voraus.
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Hi Mathi.
Also den Integralsatz von Gauss benutzt man und den skalaren Fluss
eines Vektorfeldes zu bestimmen. Vorstellen kannst du dir das zum Beispiel
anhand einer Wasserströmung. Wenn du wissen willst wie viel Wasser
durch ein Gebiet fließt, legst du eine oberfläche darum und guckst
wieviel rein und/oder raus- fließt. Mathematisch verbindet dieser Satz
Volumenintegrale mit Flächenintegralen. Die Idee dahinter ist etwa:
Auf der einen Seite der Gleichung guckst du dir an, wie viel Wasse
durch die Oberfläche tritt (Flächenintegral), auf der anderen
schaust du dir an, wieviele Quellen und Senken sich un deinem
Gebiet befinden (Volumenintegral).
Hoffe das hilft dir!
MFG Rene
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Do 16.06.2005 | | Autor: | Mathi123 |
Danke.
Das hilft mir schon mal ungemein weiter. Aber was ich nicht ganz verstehe ist: Wenn ich jetzt die Kugel habe, wo steht dann der Vektor auf dieser Kugel? Und kann mir vielleicht jemand ein Rechenbeispiel geben oder einen Literaturhinweis, wo ich solch eines finden kann.. Im Heuser und Forster steht zum Beispiel nichts.
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Der Vektor steht Senktecht auf der Fläche und zeigt normalerweise aus der Fläche in den Raum, also von
deinem Körper weg. Das ist aber eigentlich egal, da du mit einem äußerem Normalenvektor den Fluss
nach außen auch als pos. annimmst. Andersrum hättest du also nur ein
anderes Vorzeichen.
Ich hab hier mal ein einfaches Beispiel: im zweidim. lässt sich der Satz
von Gauss so darstellen:
[mm] \integral_{K}^{ } \integral_{ }^{ } {div F(x,y) dxdy} = \integral_{ \partial K}^{ } {F1(x,y) dy} - \integral_{ \partial K}^{ } {F2(x,y) dx} [/mm]
Dein Gebiet ist : [mm] K = \left\{ (x,y)^t | x^2 \le y \le 2x , 0 \le x \le 2 \right\} [/mm]
Dein Vektorfeld ist : [mm] F(x,y)= \vektor{xy^2 \\ x + y} = \vektor {F1 \\F2}[/mm]
Für die linke Seite gilt nun : [mm] \integral_{0}^{2} \integral_{x^2}^{2x} {div F(x,y) dxdy} = \integral_{0}^{2} \integral_{x^2}^{2x} {(y^2 + 1) dydx} = ..... = \bruch{124}{21}[/mm]
Für die rechte Seite musst du dir eine geeignete Randparametrisierung überlegen z.B:
Unterer Rand: [mm] \overrightarrow{A_{1}(t)} = \vektor{A_{11}(t) \\ A_{12}(t)} = \vektor{t \\ t^2} t \varepsilon[0,2] [/mm]
Oberer Rand: [mm] \overrightarrow{A_{2}(t)} = \vektor{A_{21}(t) \\ A_{22}(t)} = \vektor{2 - t \\ 4 - 2t} t \varepsilon[0,2][/mm]
Hier ist die Parametrisierung schon so gewählt, das du bei einem umlauf die Fläche immer links zu dir hast, also die Normale
aus deiner Fläche Zeigt. (Die Normalenausrichtung ist hier durch die Richtung deiner Randparametrisierung gegeben)
Jetzt nur noch einsetzen:
UR: [mm] \integral_{0}^{2} {F1(A_{1}(t)) \* A'_{12}(t)dt} - \integral_{0}^{2} {F2(A_{1}(t)) \* A'_{11}(t)dt} [/mm]
Analog gest du den Oberen Rand an.
Wenn du das alles einsetze und OR und UR addierst, erhätst du das ergebnis von oben.
MFG Rene
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Do 16.06.2005 | | Autor: | Mathi123 |
Super.
Sehr ausführliche Erklärung. Vielen Dank.
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