Integralsgrenzen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Do 08.06.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ich habe noch eine Frage bzgl. eines Integrals:
Eine Funktion hat den Def.-Bereich (a,b) und wird nun von a bis b integriert, wobei a,b > 0 sind. Die Stammfunktion ist aber nur auf (c,b) mit a<c<b definiert.
Kann ich dann überhaupt das Integral von a bis b bilden, und falls ja, wie berechnet man das? Schreibt man dann an die Stammfunktion die neuen Grenzen c und b, und der Bereich zwischen a und b "verfällt"?
Ein Beispiel:
f(x):= [mm] \bruch{1}{ln(x)} f:(0,\infty) \to \IR
[/mm]
F(x):=ln(ln(x)) [mm] F:(1,\infty) \to \IR
[/mm]
Kann ich das Integral bilden
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
und wie berechnet man das?
Vielen Dank schon jetzt für Eure Antworten!
LG Matthias.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Do 08.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo djmatey
> Hallo,
> ich habe noch eine Frage bzgl. eines Integrals:
> Eine Funktion hat den Def.-Bereich (a,b) und wird nun von
> a bis b integriert, wobei a,b > 0 sind. Die Stammfunktion
> ist aber nur auf (c,b) mit a<c<b definiert.
das kommt i.A. nicht vor!
> Kann ich dann überhaupt das Integral von a bis b bilden,
> und falls ja, wie berechnet man das? Schreibt man dann an
> die Stammfunktion die neuen Grenzen c und b, und der
> Bereich zwischen a und b "verfällt"?
> Ein Beispiel:
> f(x):= [mm]\bruch{1}{ln(x)} f:(0,\infty) \to \IR[/mm]
1/lnx ist für x=1 nicht definiert, bzw geht für x gegen 1 gegen [mm] \pm [/mm] infty!
skizzier mal 1/lnx!
Wenn du von 0 bis [mm] \infty [/mm] integrieren willst, hast du 2 uneigentliche Integrale, 0 bis 1 und 1 bis [mm] \infty!
[/mm]
> F(x):=ln(ln(x)) [mm]F:(1,\infty) \to \IR[/mm]
Das ist NICHT die richtige Stammfkt von f(x):= [mm][mm] \bruch{1}{ln(x)}
[/mm]
Denn F(x)'=1/(x*lnx)!
> Kann ich das Integral bilden
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
nein, Nur als uneigentl. Integrale und GW!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 08.06.2006 | | Autor: | djmatey |
Hi leduart,
danke erstmal für Deine Antwort.
Die Funktion f muss natürlich durch
[mm] f(x):=\bruch{1}{x*ln(x)}
[/mm]
definiert sein, da hast Du Recht. Deine Antwort stimmt für diese Funktion ja genauso.
Also verstehe ich das richtig, dass ich kein Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
bilden darf, bzw. eins mit Grenzen a,b, die gegen 0 bzw. 1 konvergieren?
Denn f ist ja auch auf (0,1) definiert, die Stammfunktion aber nicht.
Schöne Grüße,
Matthias.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 08.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Laut Definition ist [mm] F:I->\IR [/mm] eine Stammfunktion von einer Funktion [mm] f:I->\IR [/mm] (es wird nicht gefordert, dass f stetig ist), wenn
1) F auf I diffbar ist und
2) F'=f auf I.
Daher kann es Intervalle geben, auf den die Stammfunktion nicht definiert ist. In deinem Fall bedeutet, dass du den Fundamentalsatz nicht anwenden darfst.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 08.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
da habe ich jetzt ein Verständnisproblem, einen Denkfehler oder eine Wissenslücke (oder eine Kombination davon)...
A)
> Daher kann es Intervalle geben, auf den die Stammfunktion
> nicht definiert ist.
Kann es wirklich eine Funktion geben, die über einem Intervall stetig ist, für die aber über diesem Intervall keine (stetige) Stammfunktion existiert?
Ich habe jetzt vor allem die schulische Herleitung des Integrals über den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und x-Achse vor Augen. Und solch ein (endlicher) Flächeninhalt existiert doch der Anschauung nach grundsätzlich, wo eine Funktion stetig ist.
Oder?
B)
> Laut Definition ist [mm]F:I->\IR[/mm] eine Stammfunktion von einer
> Funktion [mm]f:I->\IR[/mm] (es wird nicht gefordert, dass f stetig
> ist), wenn
>
> 1) F auf I diffbar ist und
> 2) F'=f auf I.
Hier nur Verständnisfrage:
Wenn F auf I diffbar ist, folgt daraus nicht, dass F' auf I stetig ist?
Schöne Grüße,
ardik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 08.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Kann es wirklich eine Funktion geben, die über einem
> Intervall stetig ist, für die aber über diesem Intervall
> keine (stetige) Stammfunktion existiert?
Im Allgemeinen nicht. Aber ich kenne keinen Satz, der die Existenz einer Stammfunktion sicherstellt. Mehr kann ich leider nicht sagen...
> Ich habe jetzt vor allem die schulische Herleitung des
> Integrals über den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der
> Funktion und x-Achse vor Augen. Und solch ein (endlicher)
> Flächeninhalt existiert doch der Anschauung nach
> grundsätzlich, wo eine Funktion stetig ist.
> Oder?
Ja. Das folgt daraus, dass jede stetige Funktion auf einem Intervall integrierbar ist.
> Hier nur Verständnisfrage:
> Wenn F auf I diffbar ist, folgt daraus nicht, dass F' auf
> I stetig ist?
Nein. Aber wenn schon, dann heißt F stetig diffbar.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 08.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo dormant,
> > Kann es wirklich eine Funktion geben, die über einem
> > Intervall stetig ist, für die aber über diesem Intervall
> > keine (stetige) Stammfunktion existiert?
>
> Im Allgemeinen nicht. Aber ich kenne keinen Satz, der die
> Existenz einer Stammfunktion sicherstellt. Mehr kann ich
> leider nicht sagen...
...
> Ja. Das folgt daraus, dass jede stetige Funktion auf einem
> Intervall integrierbar ist.
Öhm. Ist das nicht genau das, wonach ich oben frage?
Bedeutet "integrierbar" nicht das gleiche wie "Stammfunktion existiert"?
> > Hier nur Verständnisfrage:
> > Wenn F auf I diffbar ist, folgt daraus nicht, dass F' auf I stetig ist?
>
> Nein. Aber wenn schon, dann heißt F stetig diffbar.
Hm. Da noch eine Frage zur Begriflichkeit:
Wenn eine Funktion über I stetig diffbar ist, so habe ich das bisher so verstanden, dass eben für das ganze Intervall die Ableitung definiert ist - anschaulich: das der Graph der Funktion keine Ecken/Spitzen hat (und Def.Lücken sowieso nicht).
Wenn ich das Wort "stetig" weglasse, so hat das für mich die gleiche Bedeutung, allenfalls ohne Betonung.
Ich sehe das analog zu der Aussage, eine Funktion sei über einem Intervall definiert. Da wird ja auch nicht extra betont, dass sie dort "lückenlos" definiert ist...
Ich stelle fest, ich sollte mich evtl. noch mal etwas näher mit den Begriffen beschäftigen...
Schöne Grüße,
ardik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Do 08.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Öhm. Ist das nicht genau das, wonach ich oben frage?
> Bedeutet "integrierbar" nicht das gleiche wie
> "Stammfunktion existiert"?
Nein. Eine Funktion muss nicht stetig sein, um integrierbar zu sein, insbesondere braucht die Stammfunktion nicht zu existieren, um den Integralwert zu bestimmen. Die Stammfunktion ist mit Kombination des Hauptsatzes nichts Anderes als eine einfache Methode den Integralwert zu bestimmen. Es gibt außerdem stetige Funktionen, deren Stammfunktion bisher nicht bekannt ist.
> Hm. Da noch eine Frage zur Begriflichkeit:
> Wenn eine Funktion über I stetig diffbar ist, so habe ich
> das bisher so verstanden, dass eben für das ganze Intervall
> die Ableitung definiert ist - anschaulich: das der Graph
> der Funktion keine Ecken/Spitzen hat (und Def.Lücken
> sowieso nicht).
> Wenn ich das Wort "stetig" weglasse, so hat das für mich
> die gleiche Bedeutung, allenfalls ohne Betonung.
> Ich sehe das analog zu der Aussage, eine Funktion sei über
> einem Intervall definiert. Da wird ja auch nicht extra
> betont, dass sie dort "lückenlos" definiert ist...
Es gibt stetige Funktionen, deren Ableitung unstetig ist. Es fällt mir leider kein Beispiel ein, aber das ist ein wesentliches Problem, auf das zu achten ist in höher-dimensionalen Räumen.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Fr 09.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Dormant,
vielen Dank für Deine Antworten, bringen mich mal wieder zum Nachdenken über lange vertraut Geglaubtes.
> Nein. Eine Funktion muss nicht stetig sein, um integrierbar
> zu sein, insbesondere braucht die Stammfunktion nicht zu
> existieren, um den Integralwert zu bestimmen.
Hm. Leuchtet mir zugegebenermaßen "innerlich" nicht recht ein, aber ich nehm das mal so hin.
> Es gibt außerdem stetige Funktionen, deren Stammfunktion bisher nicht bekannt ist.
Das ist was anderes, das bedeutet ja nicht, dass es sie nicht gibt.
> Es gibt stetige Funktionen, deren Ableitung unstetig ist.
Ja klar, aber nennt man die diffbar im Gegensatz zu stetig diffbar?
> Es fällt mir leider kein Beispiel ein,
$f(x) = [mm] \left|x\right|$
[/mm]
Hm, ja, da würde ich auch sagen, sie ist diffbar außer an der Stelle x=0, also eben nicht stetig diffbar... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Soweit jedenfalls mein "mathematisches Sprachgefühl", ist das auch allgemein so gemeint?
Aber wenn ich sage "über dem Intervall I diffbar", beinhaltet das dann nicht, dass es über dem gesamten Intervall diffbar ist, also über dem Intervall eben auch "automatisch" stetig diffbar ist?
Das Ganze ist mehr ein sprachliches Problem (bzw. eine Frage der Begriffsdefinitionen), als ein mathematisches...
Und ziemliche Wortklauberei, ich weiß... aber über diese Unterscheidung zwischen diffbar und stetig diffbar wundere ich mich immer mal wieder.
Herzliche Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:10 Fr 09.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Hallo Dormant,
>
> vielen Dank für Deine Antworten, bringen mich mal wieder
> zum Nachdenken über lange vertraut Geglaubtes.
Mich auch ;)
> > Nein. Eine Funktion muss nicht stetig sein, um integrierbar
> > zu sein, insbesondere braucht die Stammfunktion nicht zu
> > existieren, um den Integralwert zu bestimmen.
>
> Hm. Leuchtet mir zugegebenermaßen "innerlich" nicht recht
> ein, aber ich nehm das mal so hin.
Das stimmt auf jeden Fall. Damit die Funktion integrierbar ist, braucht sie höchstens stückweise stetig (auch sprungstetig gennant) zu sein. Da kommt die Frage auf - wenn sie nicht einmal stückweise stetig ist, ist sie dann integrierbar? Ich glaube nicht.
> > Es gibt außerdem stetige Funktionen, deren Stammfunktion
> bisher nicht bekannt ist.
>
> Das ist was anderes, das bedeutet ja nicht, dass es sie
> nicht gibt.
Das habe ich auch nicht so ganz behauptet. Ich hab zugegeben, dass ich glaube, dass es nicht unbedingt eine Stammfunktion existiert muss, damit die Funktion integrierbar ist. Ich hab ja geschrieben, dass ich mir selber nicht so sicher bin - ich kennen einfach keinen Satz, der die Existenz einer Stammfunktion einer integrierbaren Funktion sichert.
> > Es gibt stetige Funktionen, deren Ableitung unstetig ist.
>
> Ja klar, aber nennt man die diffbar im Gegensatz zu stetig
> diffbar?
Diffbar und stetig diffbar sind zwei verschiedene Sachen.
> > Es fällt mir leider kein Beispiel ein,
>
> [mm]f(x) = \left|x\right|[/mm]
>
> Hm, ja, da würde ich auch sagen, sie ist diffbar außer an
> der Stelle x=0, also eben nicht stetig diffbar...
Das tut aber nichts zur Sache - an den Stellen, die sie diffbar ist, ist sie auch stetig diffbar.
>
> Soweit jedenfalls mein "mathematisches Sprachgefühl", ist
> das auch allgemein so gemeint?
>
> Aber wenn ich sage "über dem Intervall I diffbar",
> beinhaltet das dann nicht, dass es über dem gesamten
> Intervall diffbar ist, also über dem Intervall eben auch
> "automatisch" stetig diffbar ist?
Nein. Die Ableitung, egal welcher Funktion, braucht nich stetig zu sein.
> Das Ganze ist mehr ein sprachliches Problem (bzw. eine
> Frage der Begriffsdefinitionen), als ein mathematisches...
Auf jeden Fall.
Herzliche Grüße,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mi 14.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich hab endlich mal ein Beispiel gefunden, das zeigt, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] diffbar sein kann, die Ableitung aber nicht überall stetig :
[mm] f:\IR->\IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}\sin\bruch{1}{x}, & x\in\IR \backslash\{0\} \\ 0, & x=0 \end{cases}
[/mm]
Die Ableitung ist somit im Nullpunkt unstetig.
Gruß,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 08.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo djmatey,
ehm, nach meinem Kenntnisstand ist
[mm] $\integral{\bruch{1}{x}dx} [/mm] = [mm] \ln{\left|x\right|}$
[/mm]
Und dann passt doch alles.
Auch nach der guten alten schulischen "Definition" des Integrals über den (gerichteten) Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse erscheint das auch sinnvoll.
Schöne Grüße,
ardik
PS:
Da fällt mir auf, dass gerade auch die o.g. Funktion [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] schon ein Beispiel für das von Dir geschilderte Problem gewesen wäre, da ja [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] auch für x < 0 definiert ist, nicht aber [mm] $\ln [/mm] x$ (ohne Betragsstriche)...
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