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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Keywey |
| Aufgabe | Bei der Funktion [mm] f(x)=1/x^2 [/mm] gilt für eine Stelle a [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}= [/mm] 1, d.h. bestimmt man eine STelle a und lässt dann die Stelle b gegen unendlich laufen nimmt die Fläche den Wert 1 an,
Bei der Funktion f(x)=1/x gibt es keinen Wert
denn: [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] für ln(x) = [mm] \infty
[/mm]
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Da die Funktion [mm] f(x)=1/x^2 [/mm] einen Wert für die Fläche ausgibt und die Funktion f(x)=1/x keinen, ist meine Frage: Gibt es einen Scheitelpunkt bei dem dies wechselt? also die existenz eines Wertes oder keines Wertes?
Ein wenig schwammig ausgedrückt (sorry), aber auch kompliziert, gesucht ist halt die Zahl bei der die funktion f(x)=1/x^die Zahl rechts von der Zahl bzw links von der Zahl einen/keinen Wert für die Fläche für [mm] a->\infty [/mm] hat
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keywey!
Die "Schallgrenze" für die Existenz des uneigentlichen Integrals
[mm] $$\integral_a^\infty{\bruch{1}{x^\alpha} \ dx}$$
[/mm]
liegt genau bei [mm] $\alpha [/mm] \ > \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Keywey |
Gibt es dafür einen Beweis? weil mir auf die Schnelle keiner einfällt, danke schonmal für die schnelle Antwort =O geht ja echt flott hier ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keywey!
> Gibt es dafür einen Beweis?
Klar: integrieren und Grenzwertbetrachtung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Keywey |
ist das Vorgehen so richtig?
[mm] f(x)=1/x^n [/mm] wobei n>1 sein muss damit ich einen Wert für die Fläche bekomme
integriere ich die Funktion bekomme ich F(x)= [mm] ln(x^n)
[/mm]
wenn ich jezz die Grenzwertbetrachtung mache dann muss ich n doch eigentlich gegen unendlich und minus unendlich laufen lassen, ich weiß aber dass die Graphenschaar von [mm] ln(x^n) [/mm] die x-Achse bei P(1|0) schneidet, ist ja klar da [mm] e^0= [/mm] 1 ist, aber ich sehe keinen Unterschied zwischen dem Graphen bei n=0,9 oder n=1,1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keywey!
Du bildest die falsche Stammfunktion. Da $n \ > \ 1$ , gilt auch automatisch $n \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Damit musst Du für die Stammfunktion für [mm] $\bruch{1}{x^n} [/mm] \ = \ [mm] x^{-n}$ [/mm] die  Potenzregel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Keywey |
wir sind in der Schule noch nicht soweit, trotzdem interessiert mich das, deswegen muss ich auch nochmal nachfragen (tut mir leid =/)
wenn ich f(x)=1/x also integriere
erhalte ich (haben wir noch nicht in der schule besprochen):
F(x)= x^(n+1)/n+1 C sei 0
dann ist doch: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(x)= [mm] \infty
[/mm]
und: [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] F(x)= - [mm] \infty
[/mm]
das sagt mir aber irgendwie nichts
Danke für die Mühe schonmal (:
Gruß Kevin
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Hallo Keywey,
> wir sind in der Schule noch nicht soweit, trotzdem
> interessiert mich das, deswegen muss ich auch nochmal
> nachfragen (tut mir leid =/)
>
> wenn ich f(x)=1/x also integriere
> erhalte ich (haben wir noch nicht in der schule
> besprochen):
> F(x)= x^(n+1)/n+1 C sei 0
>
> dann ist doch: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] F(x)= [mm]\infty[/mm]
>
> und: [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}[/mm] F(x)= - [mm]\infty[/mm]
>
> das sagt mir aber irgendwie nichts
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vielleicht hilft dir dieser Beitrag weiter?
Gruß informix
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