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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Seien M, N [mm] \subset \IC [/mm] zwei offene Mengen und f: M [mm] \cup [/mm] N [mm] \to \IC [/mm] eine stetige Funktion, so dass f|M und f| N integrabel sind.
Zeige: Ist M [mm] \cap [/mm] N zusammenhängend, so ist f integrabel. |
Hallo Forum,
ich hab ein paar Probleme beim Beweisen dieser Aufgabe.
Ich hoffe daher, dass mir jemand weiter helfen kann.
Zuerst hab ich mir die Definitionen rausgeschrieben:
f|M integrabel bedeutet doch für [mm] f_{1}: [/mm] M [mm] \to \IC, [/mm] gibt es eine Stammfunktion [mm] F_{1}' [/mm] = [mm] f_{1} [/mm] oder?
Analog für f|N mit [mm] F_{2}' [/mm] = [mm] f_{2}.
[/mm]
M [mm] \cap [/mm] N zusammenhängend, heißt doch für X,Y [mm] \subset [/mm] M [mm] \cap [/mm] N offen, gilt X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset, [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y = M [mm] \cap [/mm] N, dann ist X = M [mm] \cap [/mm] N, Y = [mm] \emptyset [/mm] oder Y = M [mm] \cap [/mm] N, X = [mm] \emptyset. [/mm] Richtig?
Jetzt hab ich ein paar Probleme beim Beweis.
Z.z.: f(M [mm] \cup [/mm] N) integrabel
Ich hab folgendes gemacht: F'(M [mm] \cup [/mm] N) = [mm] F_{1}'(M) \cup F_{2}'(N) [/mm] , gilt das überhaupt?
Dann hab ich das so weiter gemacht, aber ich weiß nicht, wie ich da die Information, dass f stetig ist und M [mm] \cap [/mm] N zusammenhängend mit reinbrigen soll:
F'(M [mm] \cup [/mm] N) = [mm] F_{1}'(M) \cup F_{2}'(N) [/mm] = [mm] f_{1}(M) \cup f_{2}(N) [/mm] = f(M [mm] \cup [/mm] N)
Stimmt das so? Ich weiß nicht, wie ich das sonst zeigen soll.
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Danke,
VG Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
hat vielleicht jemand eine Idee, warum man die Angabe, dass M [mm] \cap [/mm] N zusammenhängend braucht? Ich weiß nicht, wie ich das in den Beweis einbauen soll.
Vielleicht kann mir auch jemand sagen, ob das was ich beim Beweis gemacht hab richtig oder falsch ist.
Das wäre sehr nett.
Vielen Dank für die Hilfe,
Gruß, Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> Seien M, N [mm]\subset \IC[/mm] zwei offene Mengen und f: M [mm]\cup[/mm] N
> [mm]\to \IC[/mm] eine stetige Funktion, so dass f|M und f| N
> integrabel sind.
> Zeige: Ist M [mm]\cap[/mm] N zusammenhängend, so ist f integrabel.
> Hallo Forum,
> ich hab ein paar Probleme beim Beweisen dieser Aufgabe.
> Ich hoffe daher, dass mir jemand weiter helfen kann.
> Zuerst hab ich mir die Definitionen rausgeschrieben:
> f|M integrabel bedeutet doch für [mm]f_{1}:[/mm] M [mm]\to \IC,[/mm] gibt es
> eine Stammfunktion [mm]F_{1}'[/mm] = [mm]f_{1}[/mm] oder?
Ich nehme das mal an.
> Analog für f|N mit [mm]F_{2}'[/mm] = [mm]f_{2}.[/mm]
> M [mm]\cap[/mm] N zusammenhängend, heißt doch für X,Y [mm]\subset[/mm] M
> [mm]\cap[/mm] N offen, gilt X [mm]\cap[/mm] Y = [mm]\emptyset,[/mm] X [mm]\cup[/mm] Y = M [mm]\cap[/mm]
> N, dann ist X = M [mm]\cap[/mm] N, Y = [mm]\emptyset[/mm] oder Y = M [mm]\cap[/mm]
> N, X = [mm]\emptyset.[/mm] Richtig?
Genau. Aber so explizit brauchst du das nicht.
> Jetzt hab ich ein paar Probleme beim Beweis.
> Z.z.: f(M [mm]\cup[/mm] N) integrabel
> Ich hab folgendes gemacht: F'(M [mm]\cup[/mm] N) = [mm]F_{1}'(M) \cup F_{2}'(N)[/mm]
> , gilt das überhaupt?
Was soll das sein?! Bzw. was soll das sagen? Und was ist $F'$?
Fang doch mal so an:
Auf $M [mm] \cap [/mm] N$ sind [mm] $F_1|_{M \cap N}$ [/mm] und [mm] $F_2|_{M \cap N}$ [/mm] Stammfunktionen von $f$. Sei $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ beliebig und $c := [mm] F_1(x) [/mm] - [mm] F_2(x)$. [/mm] Betrachte die Funktion $G := [mm] F_1|_{M \cap N} [/mm] - [mm] F_2|_{M \cap N} [/mm] - c$. Es ist $G(x) = 0$, und $G' [mm] \equiv [/mm] 0$ auf $M [mm] \cap [/mm] N$. Da $M [mm] \cap [/mm] N$ zusammenhaengend ist, folgt $G [mm] \equiv [/mm] c$ (das folgt mit dem Identitaetssatz: schau dir eine kleine Kreisscheibe um $x$ an und entwickle [mm] $F_1$ [/mm] und [mm] $F_2$ [/mm] dort in Reihen).
Setze nun $F := [mm] F_1$ [/mm] auf $M$ und $F := [mm] F_2 [/mm] + c$ auf $N$. Dies ist wohldefiniert, da auf $M [mm] \cap [/mm] N$ beide Moeglichkeiten nach obigen uebereinstimmen. Nun ist $F$ holomorph (warum?) und $F' = f$ (warum?).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Felix,
danke, dass du mir hilfst! Ich hab leider deine Antwort nicht ganz nachvollziehen können. Ich hoffe, du erklärst mir, was du gemacht hast.
Ich versteh nicht ganz, was dieses c macht und wie kommt man drauf, dass so zu definieren? Gelten [mm] F_{1}(x) [/mm] bzw. [mm] F_{2}(x) [/mm] nur auf M [mm] \cap [/mm] N, oder nur auf M bzw. N? Ich versteh das nicht ganz...
Und wieso ist dann G'(x) = 0 auf M [mm] \cap [/mm] N? Ich hab auch noch nie was von einem Identitätssatz gehört und versteh auch nicht, wie man von M [mm] \cap [/mm] N zusammenhängend, folgern kann, dass G [mm] \equiv [/mm] c. Ist das c eine Konstante?
Mir ist das alles nicht so klar, was du da gemacht hast.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Vielen Dank nochmal für deine Mühe.
LG, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> danke, dass du mir hilfst! Ich hab leider deine Antwort
> nicht ganz nachvollziehen können. Ich hoffe, du erklärst
> mir, was du gemacht hast.
> Ich versteh nicht ganz, was dieses c macht und wie kommt
> man drauf, dass so zu definieren?
Du hast ja zwei Stammfunktionen [mm] $F_1$ [/mm] und [mm] $F_2$ [/mm] von $f$ (also auf $M [mm] \cap [/mm] N$ kann man das so sagen), also unterscheiden sie sich hoechstens bis auf eine Konstante. Und diese Konstante soll hier $c$ sein :)
> Gelten [mm]F_{1}(x)[/mm] bzw.
> [mm]F_{2}(x)[/mm] nur auf M [mm]\cap[/mm] N, oder nur auf M bzw. N? Ich
> versteh das nicht ganz...
Ja, das tun sie, aber du bist erstmal an dem Verhalten auf $M [mm] \cap [/mm] N$ interessiert, da hier beide Funktionen [mm] $F_1$ [/mm] und [mm] $F_2$ [/mm] definiert sind.
> Und wieso ist dann G'(x) = 0 auf M [mm]\cap[/mm] N? Ich hab auch
Es ist $G' = [mm] (F_1 [/mm] - [mm] F_2 [/mm] + c)' = [mm] F_1' [/mm] - [mm] F_2' [/mm] = f - f = 0$.
> noch nie was von einem Identitätssatz gehört und versteh
> auch nicht, wie man von M [mm]\cap[/mm] N zusammenhängend, folgern
> kann, dass G [mm]\equiv[/mm] c. Ist das c eine Konstante?
Das $c$ ist eine Konstante. Auf einer Kreisscheibe um $x$ siehst du, dass [mm] $F_1$ [/mm] und [mm] $F_2$ [/mm] sich hoechstens um eine Konstante unterscheiden. Das geht fuer jedes $x$. Das Zusammenhaengend brauchst du, damit es fuer jedes $x$ die gleiche Konstante ist. Am Einfachsten folgt das halt mit dem Identitaetssatz (der sagt grob gesprochen: stimmen zwei holomorphe Funktionen auf einer offenen Menge ueberein, so sind sie schon ueberall gleich), es geht aber auch `von Hand'.
(Du hast im Prinzip, dass $G$ eine lokal konstante Funktion ist. Und da $G$ auf einer zusammenhaengenden Menge definiert ist (naemlich $M [mm] \cap [/mm] N$), ist sie bereits insgesamt konstant.)
Kommst du damit weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Felix,
erstmal danke schön für deine Erklärungen. Jetzt ist mir auch alles klarer als davor. :)
Also nochmal zu dem Zusammenhängend. Das brauch ich, um sagen zu können, dass sich die beiden Stammmfunktionen [mm] F_{1} [/mm] und [mm] F_{2} [/mm] von f auf M [mm] \cap [/mm] N für alle x immer um die gleiche Konstante c unterscheiden oder? Hab ich das richtig verstanden?
Dann hast du F:= [mm] F_{1} [/mm] auf M und F:= [mm] F_{2} [/mm] +c auf N definiert.
F ist doch holomorph weil [mm] F_{1} [/mm] und [mm] F_{2} [/mm] nach Voraussetzug holomorph sind oder?
Und F' = f, weil F'= [mm] F_{1}' [/mm] = [mm] f_{1} [/mm] auf M und F' = [mm] F_{2}' [/mm] = [mm] f_{2} [/mm] auf N.
Stimmt das so?
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.
LG, Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> erstmal danke schön für deine Erklärungen. Jetzt ist mir
> auch alles klarer als davor. :)
Schoen :)
> Also nochmal zu dem Zusammenhängend. Das brauch ich, um
> sagen zu können, dass sich die beiden Stammmfunktionen
> [mm]F_{1}[/mm] und [mm]F_{2}[/mm] von f auf M [mm]\cap[/mm] N für alle x immer um die
> gleiche Konstante c unterscheiden oder? Hab ich das richtig
> verstanden?
Genau, hast du!
> Dann hast du F:= [mm]F_{1}[/mm] auf M und F:= [mm]F_{2}[/mm] +c auf N
> definiert.
> F ist doch holomorph weil [mm]F_{1}[/mm] und [mm]F_{2}[/mm] nach
> Voraussetzug holomorph sind oder?
Genau.
> Und F' = f, weil F'= [mm]F_{1}'[/mm] = [mm]f_{1}[/mm] auf M und F' = [mm]F_{2}'[/mm]
> = [mm]f_{2}[/mm] auf N.
> Stimmt das so?
Exakt!
LG Felix
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