Integration < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:07 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Chochalski |
Hallo zusammen,
ich stecke gerade etwas fest:
Wie kommt man eigentlich dadrauf:
[mm] \integral_{0}^{2}{k\bruch{(2t + 1)\vec{e_{x} + t^2e_{y}}}{\wurzel{(t^4 + 4t^2 + 4t + 1)^3}}dt} = \integral_{0}^{2}{k\bruch{t^3 + 2t + 1}{\wurzel{(t^4 + 4t^2 + 4t + 1)^3}}dt[/mm]
Also mir ist schon klar, dass es etwas mit
[mm] \vec{e_{x}}\vec{e_{x}} = 1 [/mm]
[mm] \vec{e_{x}}\vec{e_{y}} = 0 [/mm]
zu tun hat, sehe aber gerade nicht, was konkret unternommen wurde.
Danke und Gruß
Chochalski
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Do 02.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du die Gleichung richtig geschrieben? Die kann nach meiner Ansicht nicht richtig sein, denn links steht ein Vektor, rechts ein Skalar. mit ex und [mm] e_y [/mm] sind doch die einheitsvektoren in x, y Richtung gemeint?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo leduart,
ganz richtig. Die Gleichung müsste stimmen.
Also ich geh mal ein paar Schritte zurück, damit Du das einesehn kannst.
Ich will das Integral
[mm] I = \integral_{\vec{r_{1}}}^{\vec{r_{2}}}{k\bruch{\vec{r}}{r^3} d\vec{r}} [/mm] lösen.
Dabei liegen die Punkte [mm] \vec{r_{1}} = (1,0) [/mm] und [mm] \vec{r_{2}} = (5,4) [/mm] auf der Parabel [mm] y(x) = (\bruch{x - 1}{2})^2 [/mm]
Da ich mir nicht anders zu helfen wusste, habe ich [mm] y(x) [/mm] in die Parameterform gebracht. Also
[mm] t := (\bruch{x - 1}{2})^2 [/mm] somit ist ja
[mm] x = 2t + 1 [/mm] und
[mm] y = t^2 [/mm]
Es gilt auch
[mm] 0 \le x \le 5 [/mm] und somit ist
[mm] 0 \le t \le 2 [/mm]
Für [mm] \vec{r} [/mm] kann ich nun schreiben
[mm] \vec{r} = (2t + 1)\vec{e_{x}} + t^2\vec{e_{y}} [/mm]
Eingesetzt sieht das ja so aus:
[mm] I = \integral_{0}^{2}{k\bruch{(2t + 1)\vec{e_{x}} + t^2\vec{e_{y}}}{(\wurzel{((2t+1)^2 + t^4)})^3}dt} [/mm]
Da ich hier nicht weitergekommen bin, hab ich in der Lösung geschaut und da stand ausnahmsweise neben der Lösung [mm] I = 0,8383k [/mm] auch der Tipp: mit [mm] t^4 + 4t^2 + 4t + 1 [/mm] substituieren.
Daraufhin habe ich etwas reverse engeneering betrieben und festgestellt, dass wenn ich mit meinen Ausführungen oben richtig lag, dann auch irgendwie gelten muss
[mm] I = \integral_{0}^{2}{k\bruch{(2t + 1)\vec{e_{x}} + t^2\vec{e_{y}}}{(\wurzel{t^4 + 4t^2 + 4t + 1})^3}dt} = \integral_{0}^{2}{2k\bruch{t^3 + 2t + 1}{(\wurzel{t^4 + 4t^2 + 4t + 1})^3}dt} [/mm] Denn wenn ich laut Lösung substituiere komme ich auf das richtige Ergebnis.
Oder lag ich von vornherein falsch und es ist halt Zufall, dass das klappt.
Wenn ja wäre ich über eine andere Herengehensweise dankbar, denn nun kennst Du ja auch schon die Aufgabenstellung.
Danke und Gruß
Chochalski
|
|
|
| |
|
Das scheint mir eine Aufgabe aus der Physik zu sein. Ich kenne mich da nicht so aus und muß mir daher vieles zusammenreimen. In der Mathematik würde die Aufgabe so lauten (den konstanten Faktor [mm]k[/mm] kann man vors Integral ziehen, ich lasse ihn im Folgenden weg):
Für die Differentialform
[mm]\omega = \frac{x}{\left( x^2 + y^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \, \mathrm{d}x \ + \ \frac{y}{\left( x^2 + y^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \, \mathrm{d}y[/mm]
bestimme man das Integral [mm]\int_{\gamma}~\omega[/mm], wobei mit [mm]\gamma[/mm] das Parabelstück von [mm](1,0)[/mm] bis [mm](5,4)[/mm] auf der Parabel mit der Gleichung [mm]y = \left( \frac{x-1}{2} \right)^2[/mm] durchlaufen werde.
Bei dir ist offenbar [mm]\vec{r} = (x,y) = x \, \vec{e}_x \ + \ y \, \vec{e}_y[/mm] und [mm]r = \left| (x,y) \right| = \left( x^2 +y^2 \right)^{\frac{1}{2}}[/mm].
Deine Parameterdarstellung für [mm]\gamma[/mm] ist korrekt. Du hast nur übersehen, daß [mm]\vec{r} \cdot \mathrm{d} \vec{r}[/mm] ein formales Skalarprodukt ist. Zunächst gilt
[mm]\mathrm{d} \vec{r} = \left( 2 \, \vec{e}_x \ + \ 2t \, \vec{e}_y \right) \ \mathrm{d}t[/mm]
Und jetzt mußt du in
[mm]\vec{r} \cdot \mathrm{d} \vec{r} \ = \ \left( (2t+1) \, \vec{e}_x \ + \ t^2 \, \vec{e}_y \right) \cdot \left( 2 \, \vec{e}_x \ + \ 2t \, \vec{e}_y \right) \ \mathrm{d}t[/mm]
formal ausmultiplizieren. Wegen der Orthogonalitätsrelationen [mm]{\vec{e}_x}^{\ 2} = {\vec{e}_y}^{\ 2} = 1[/mm] und [mm]\vec{e}_x \cdot \vec{e}_y = 0[/mm] ist das Ergebnis ein Skalar.
Das Ganze geht übrigens viel einfacher, wenn ihr euch schon mit Wegunabhängigkeit beschäftigt habt. Leider kenne ich den physikalischen Kalkül dazu nicht. In der Mathematik würde man sagen, daß für
[mm]F = F(x,y) = - \left( x^2 + y^2 \right)^{-\frac{1}{2}}[/mm]
offenbar [mm]\mathrm{d}F = \omega[/mm] gilt. Die Existenz einer Stammfunktion garantiert die Wegunabhängigkeit, und man kann wie im Eindimensionalen rechnen:
[mm]\int_{\gamma}~\omega \ = \ \int_{\gamma}~\mathrm{d}F \ = \ F(5,4) - F(1,0)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Do 02.11.2006 | | Autor: | Chochalski |
Besten Dank an leduart und Leopold_Gast,
ich hatte wohl gestern mein Pulver verschossen gehabt und tatsächlich mehrmals übersehen gehabt, die Ableitung [mm] \bruch{\delta\vec{r}}{\delta t} [/mm] noch mit einzusetzen.
Damit wird das Integral dann wiklich ein Skalar und ich komme auf die Lösung.
Deine Ausführung, Leopold_Gast, ist sehr sehr schick und geht ja expressmäsig schnell!
Wie dem auch sei, danke nochmal
Gruß Chochalski
|
|
|
|
