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Hi! ich muss hier für eine Fourrierreihe eine Partielle integration machen.
Diese ist sinus(x) * cos(nx) dx (grenzen 0 bis Pi)
nach 2 mal Partitiell Integrieren kommt wieder die ausgangsfunktion raus. und was mach ich jetzt? ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
Das ist genau richtig. Da müßte wieder das Integral vom Anfang stehen, mit einem '-' davor.
Addiere den kompletten Integralterm auf beiden Seiten der Gleichung nochmal - dann steht links 2x das Ausgangsintegral, rechts nur noch die Stammunktion. Alles durch 2 teilen, und du bist fertig!
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sorry, das hab ich nich verstanden? wie soll ich das machen? wenn ich das rechts addiere steht da doch eine 0 oder nicht? wusste auch nicht dass ich mit integralen so rumrechnen kann :)
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Hallo Enroth!
Nach der 2-maligen partiellen Integration solltest Du dastehen haben:
[mm] $\red{\integral{\sin(x)*\cos(n*x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] -\cos(x)*\cos(n*x)+n*\sin(x)*\sin(n*x)-n^2*\red{\integral{\sin(x)*\cos(n*x) \ dx}}$
[/mm]
Nun bei dieser Gleichung auf beiden Seiten [mm] $+n^2*\integral{\sin(x)*\cos(n*x) \ dx}$ [/mm] rechnen und anschließend durch [mm] $1+n^2$ [/mm] teilen.
Gruß vom
Roadrunner
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wieso kommt das dabei raus? bei mir kommen da stammfunktionen und integrale raus :)
naja, ich nehme mal deine lösung, gut dann bekomme ich das hier raus: [mm]\bruch {\cos x * \cos nx} {1+n^2} + \bruch {n \sin x - \sin nx} {1+n^2} [/mm]
und was ist jetzt mit meinen grenzen? von 0 bis Pi? wie werden die verrechnet? sinus von n * Pi ist ja immer 0 zb.
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> wieso kommt das dabei raus? bei mir kommen da
> stammfunktionen und integrale raus :)
> naja, ich nehme mal deine lösung, gut dann bekomme ich das
> hier raus: [mm]\bruch {\cos x * \cos nx} {1+n^2} + \bruch {n \sin x - \sin nx} {1+n^2}[/mm]
>
> und was ist jetzt mit meinen grenzen? von 0 bis Pi? wie
> werden die verrechnet?
Du hast nun eine Stammfunktion des Integranden. Also ist der Wert des bestimmten Integrals gleich der Differenz des Werts dieser Stammfunktion an der oberen Grenze minus ihr Wert an der unteren Grenze ("Hauptsatz").
> sinus von n * Pi ist ja immer 0 zb.
Na, dann fällt dieser Term eben bei der Berechnung des bestimmten Integrals weg: sei doch froh, wenn's wenig zu rechnen gibt...
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ok, laut lösung müsste da 0 für ungerade n und [mm] -\bruch {4} {\pi * n^2 - 1} [/mm] für gerade n rauskommen, ich bekomme aber kein pi und auch keine 4 zustanden :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wir können deinen Fehler nicht finden, wenn du uns deine Rechnung nicht postest. Und die einfach vorrechnen wär nur Schreibarbeit für uns!
Gruss leduart
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> ok, laut lösung müsste da 0 für ungerade n und [mm]-\bruch {4} {\pi * n^2 - 1}[/mm]
> für gerade n rauskommen, ich bekomme aber kein pi und auch
> keine 4 zustanden :)
Dass ein [mm] $\pi$ [/mm] in der Lösung auftritt, ist sicher falsch. Zum Beispiel ist [mm] $\int_0^\pi \sin(x)\cos(2x)\,dx [/mm] = [mm] -\frac{2}{3}$. [/mm] Von einem [mm] $\pi$ [/mm] im Nenner keine Spur! Bist Du sicher, dass diese Lösung tatsächlich nur der Wert Deines Integrals ist - ist es nicht vielmehr der Fourierkoeffizient? - Dann ist doch da noch so ein Faktor vor dem Integral. - Hast Du den etwa vergessen?
Mathematica (siehe ![[]](/images/popup.gif) http://integrals.wolfram.com/index.jsp) ist der Ansicht, dass [mm] $\int \sin(x)\cos(nx)\, [/mm] dx = [mm] \frac{\cos(x)\cos(nx)+\sin(x)\sin(nx)}{n^2-1}$ [/mm] ist. Eine gewisse Ähnlichkeit zu Deiner Stammfunktion ist zwar nicht abzuspechen, aber beachte z.B. den Nenner [mm] $n^2-1$ [/mm] anstelle Deines [mm] $n^2+1$. [/mm] Also muss bereits bei der partiellen Integration etwas falsch gelaufen sein.
Ich denke, dass der Wert des Integrals [mm] $\int_0^\pi \sin(x)\cos(nx)\, [/mm] dx$ gleich [mm] $-\frac{1+(-1)^n}{n^2-1}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{1+(-1)^n}{1-n^2}$ [/mm] ist, für alle [mm] $n\in \IN, [/mm] n [mm] \geq [/mm] 2$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Enroth186 |
Ich entschuldige mich, das 4/pi kommt wirklich von dem fourrierkoeefizienten.
das ergebnis des integrals sollte dann [mm] 1/n^2 [/mm] - 1 sein. danke schonmal für eure tipps, ich werde nochmal alles genau nachrechnen und dann schreiben ob ichs geschafft habe oder nicht ^^
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| Aufgabe | [mm] \int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\, [/mm] dx = [mm] \sin(x) \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) [/mm] - [mm] \int_{}^{} \cos(x) \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) [/mm]
[mm] \int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\, [/mm] dx= [mm] \sin(x) \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) [/mm] - ( [mm] \bruch{-1}{n^2}\cdot\cos(x) \cdot \cos(xn) [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2} \int{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx) [/mm] )
[mm] \int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\, [/mm] dx [mm] \cdot n^2= \sin(x) \cdot \sin(nx) \cdot [/mm] n + [mm] \cos(x) \cdot \cos(xn) [/mm] - [mm] \int{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx) [/mm]
[mm] \int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\, [/mm] dx [mm] (1+n^2)= \sin(x) \cdot \sin(nx) \cdot [/mm] n + [mm] \cos(x) \cdot \cos(xn) [/mm]
[mm] \int_{0}^{\pi} \to \bruch{-2}{n^2+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{n^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{-4}{n^2+1} [/mm] |
so, das hab ich jetzt nach mehrmaligem durchrechnen raus bekommen. ist meine rechnung falsch?
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> [mm]\int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\, dx = \sin(x) \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) - \int_{}^{} \cos(x) \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx)[/mm]
>
> [mm]\int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\, dx= \sin(x) \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) - (\bruch{-1}{n^2}\cdot\cos(x) \cdot \cos(xn)\red{+} \bruch{1}{n^2} \int{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx))[/mm]
Dies hier ist falsch: und zwar muss das rot markierte Vorzeichen ein - sein, nicht +, weil Du beim Ableiten von [mm] $\cos(x)$ [/mm] noch ein weiteres negatives Vorzeichen erhältst.
>
> [mm]\int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\,[/mm] dx [mm]\cdot n^2= \sin(x) \cdot \sin(nx) \cdot[/mm]
> n + [mm]\cos(x) \cdot \cos(xn)[/mm] - [mm]\int{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)[/mm]
>
>
> [mm]\int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\,[/mm] dx [mm](1+n^2)= \sin(x) \cdot \sin(nx) \cdot[/mm]
> n + [mm]\cos(x) \cdot \cos(xn)[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{\pi} \to \bruch{-2}{n^2+1}[/mm] -
> [mm]\bruch{2}{n^2+1}[/mm] = [mm]\bruch{-4}{n^2+1}[/mm]
> so, das hab ich jetzt nach mehrmaligem durchrechnen raus
> bekommen. ist meine rechnung falsch?
Aber ja doch, aber gewiss doch: siehe meine obenstehende Korrekturbemerkung. Zudem ist, laut CAS,
[mm]\int_0^\pi \sin(x)\cos(2x)\, dx=-\frac{2}{3}[/mm]
Dies stimmt einfach nicht mit Deinem Ergebnis für $n=2$ überein. Ich habe es nun oft genug geschrieben: der Nennerterm muss [mm] $n^2-1$ [/mm] sein: basta. [mm] $n^2+1$ [/mm] als Nennerterm ist schlicht falsch.
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gut :) ich verstehe was du meinst. ich weis nur nicht warum da ein minus hin muss. es steht doch vorher ein minus vor dem letzten integral, weil ja die partitielle integration so aussieht: [mm] \int{}^{}= stammfunktion - \int{}^{} [/mm] so, da steht jetzt ein minus. dann kommt bei dem integral aber ein negativer wert raus, nach der "aufleitung" von sinus. und diesen negativen term, [mm] \bruch{-1}{n^2} [/mm] ziehe ich vor. und minus mal minus ergibt doch plus! im endeffekt, kommt durch das minus vom allerersten partitiellen integrieren ein minus raus (+ mal - = - ). und dann rechne ich + um den integralterm von der rechten seite nach links rüberzuholen . und das ergibt [mm] n^2 [/mm] + 1 dann nach dem zusammenfassen.
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> gut :) ich verstehe was du meinst.
> ich weis nur nicht
> warum da ein minus hin muss.
Ich schreibs nochmals genauer hin: indem ich das zusätzliche Minuszeichen, das Du beim Ableiten des [mm] $\cos(x)$ [/mm] vergessen hast, grün gefärbt einfüge.
$ [mm] \int_{}^{} \sin(x) \cdot \cos(nx)\, [/mm] dx= [mm] \sin(x) \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) [/mm] - [mm] (\bruch{-1}{n^2}\cdot\cos(x) \cdot \cos(xn)\red{+} \bruch{1}{n^2} \int{}^{} \green{-}\sin(x) \cdot \cos(nx)) [/mm] $
> es steht doch vorher ein minus
> vor dem letzten integral, weil ja die partitielle
> integration so aussieht: [mm]\int{}^{}= stammfunktion - \int{}^{}[/mm]
> so, da steht jetzt ein minus. dann kommt bei dem
> integral aber ein negativer wert raus, nach der
> "aufleitung" von sinus. und diesen negativen term,
> [mm]\bruch{-1}{n^2}[/mm] ziehe ich vor. und minus mal minus ergibt
> doch plus!
Du hattest in der Klammer einen Faktor [mm] $-\frac{1}{n^2}$ [/mm] dann gibt es zusätzlich ein $-$ vor dem letzten Integral (weil das bei der partiellen Integration immer so ist), und dann erhältst Du von der Ableitung des [mm] $\cos(x)$ [/mm] noch ein weiteres $-$, das Du vergessen hast, denn [mm] $\big(\cos(x)\big)'=-\sin(x)$.
[/mm]
> im endeffekt, kommt durch das minus vom
> allerersten partitiellen integrieren ein minus raus (+ mal
> - = - ). und dann rechne ich + um den integralterm von der
> rechten seite nach links rüberzuholen . und das ergibt [mm]n^2[/mm]
> + 1 dann nach dem zusammenfassen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Enroth186 |
gut, jetzt hab ichs, danke schön^^ hab das - bei der ableitung des cos(x) im letzten integral vergessen, danke ^^
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:27 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Enroth!
>
>
> Nach der 2-maligen partiellen Integration solltest Du
> dastehen haben:
>
> [mm]\red{\integral{\sin(x)*\cos(n*x) \ dx}} \ = \ -\cos(x)*\cos(n*x)+n*\sin(x)*\sin(n*x)-n^2*\red{\integral{\sin(x)*\cos(n*x) \ dx}}[/mm]
Hier hat sich leider ein kleines Fehlerchen beim partiellen Ableiten eingeschlichen. Richtig wäre m.E. folgendes gewesen:
[mm]\red{\integral{\sin(x)*\cos(n*x) \ dx}} \ = \ -\cos(x)*\cos(n*x)\green{-}n*\sin(x)*\sin(n*x)\green{+}n^2*\red{\integral{\sin(x)*\cos(n*x) \ dx}}[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:40 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Enroth186 |
ich glaube du hast dich da in den vorzeichen vertan, hab das jetzt mehrere male gerechnet und bekomme andere raus
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 18:58 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> ich glaube du hast dich da in den vorzeichen vertan, hab
> das jetzt mehrere male gerechnet und bekomme andere raus
Da Du nicht schreibst, was Du genau "raus" bekommst, kann ich nur spekulieren, was genau Du nun für richtig hältst. Die Version, die in der Antwort von Roadrunner enthalten war, ist sicher falsch: weil mit seiner Version erhältst Du im Nenner des Integrals eben den Term [mm] $n^2+1$ [/mm] statt, richtiger, [mm] $n^2-1$ [/mm] (oder [mm] $1-n^2$). [/mm] Und da sagen mir auch diverse CAS-Systeme, dass [mm] $n^2+1$ [/mm] nicht richtig sein kann.
Hauptsache aber, Du erhältst am Ende die Lösung, die man Dir angegeben hat (und in der scheint im Nenner ein Faktor [mm] $n^2-1$ [/mm] zu stehen).
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