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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Namisan |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^{n}e^{-x}^{2} dx}
[/mm]
mit n=1,2,3,4.... |
Kann mir bitte irgendwie jemand einen Tipp dazu geben?
Also wenn ich das ganze Partiell Integriere dann kann ich das ja unendlich oft integrieren..Ich weiss da echt nicht weiter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Namisan |
Muss ich da wirklcih mit der Gammafunktion arbeiten?
Also die haben wir in der Vorlesung noch nicht gehabt. Sehe ich allerdings als einzige möglichkeit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Mi 28.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Muss ich da wirklcih mit der Gammafunktion arbeiten?
> Also die haben wir in der Vorlesung noch nicht gehabt.
> Sehe ich allerdings als einzige möglichkeit
Wie kommst du auf die Gammafunktion? Ich sehe da die ![[]](/images/popup.gif) Fehlerfunktion
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 28.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo namisan!
> Berechnen Sie folgendes Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{n}e^{-x}^{2} dx}[/mm]
>
> mit n=1,2,3,4....
> Kann mir bitte irgendwie jemand einen Tipp dazu geben?
>
> Also wenn ich das ganze Partiell Integriere dann kann ich
> das ja unendlich oft integrieren..Ich weiss da echt nicht
> weiter
Ich glaube, du hast in die falsche Richtung partiell integriert. Für [mm]n\ge 2[/mm] kannst du das Integral durch partielle Integration auf
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{n-2}e^{-x}^{2} dx}[/mm]
zurückführen.
Damit musst du nur noch die Fälle n=1 und n=0 betrachten.
Für n=1 gibt's eine Stammfunktion, da kannst du das Integral direkt ausrechnen. Außerdem ist für ungerade n der Integrand eine ungerade Funktion, also ist das Integral 0. (Das kannst du auch direkt sehen, in dem du [mm]x\mapsto -x[/mm] substituierst.)
Damit musst du es nur noch für n=0 wirklich ausrechnen, und das geht mit einem Trick: due rechnest das Quadrat dieses Integrals aus, indem du das entstehende Doppelintegral in Polarkoordinaten transformierst: ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") in diesem Artikel.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Namisan |
Also das einfache Integralberechen für den Fall das n=0 ist , das habe ich schon.
Für n=1 ok, kann ich auch berechnen.
Aber für [mm] n\ge2 [/mm] verstehe ich das noch nicht ganz.
partielle integration.
dann kriege ich doch nicht dieses Integral?!
[mm] u=x^{n} [/mm] und [mm] dv=e^{-x}^{2}
[/mm]
dann muss ich v bestimmen was doch eigentlich auch wieder das gleiche ist
und dann noch du= [mm] nx^{n-1}
[/mm]
das ganze eingesetzt
[mm] x^{n}e^{-x}^{2}|(grenzen) [/mm] - [mm] \integral_{-\infinity}^{\infinitiy}{nx^{n-1} e^{-x}^{2}dx}
[/mm]
und dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Do 29.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber für [mm]n\ge2[/mm] verstehe ich das noch nicht ganz.
>
> partielle integration.
>
> dann kriege ich doch nicht dieses Integral?!
>
> [mm]u=x^{n}[/mm] und [mm]dv=e^{-x^{2}}[/mm]
> dann muss ich v bestimmen was doch eigentlich auch wieder
> das gleiche ist
Nein. So wie du v definierst, ist es die Fehlerfunktion, die nicht durch elementare Funktionen ausdrückbar ist. Das Integral kann nicht [mm]e^{-x^{2}}[/mm] sein, denn beim Ableiten bekommst du einen Faktor [mm]-2x[/mm] von der inneren Ableitung.
Entweder du machst es rückwärts: [mm]u=e^{-x^2}[/mm], [mm]v' = x^{n-2}[/mm], daher
[mm] u' = -2x e^{-x^2}[/mm], [mm]v = \bruch{1}{n-1}x^{n-1}[/mm]
oder du fängst mit [mm]u=x^{n-1}[/mm], [mm]v'=xe^{-x^2}[/mm] an, also
[mm]u'=(n-1)x^{n-2}[/mm], [mm]v = -\bruch{1}{2} e^{-x^2}[/mm].
>
> und dann noch du= [mm]nx^{n-1}[/mm]
>
> das ganze eingesetzt
>
> [mm]x^{n}e^{-x}^{2}|(grenzen)[/mm] -
Der Randterm [mm]\left.x^{n}e^{-x^2}\right|_{-\infty}^{+\infty} = 0[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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