Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 05.07.2008 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | | Berechen Sie [mm] \integral_{a}^{b}{e^{x} dx} [/mm] ueber die Definition des Integrals. Zerlegen Sie dazu das Intervall [a,b] wie in der Vorlesung in n gleiche Teile mit Knoten [mm] (x_{j})_{j=0,...,n} [/mm] und berechnen Sie explizit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F_{n}, [/mm] mit [mm] F_{n}:= \summe_{j=1}^{n}f(x_{j-1})(x_{j}-x_{j-1}). [/mm] |
So...! Hab das jetzt so in n gleich Teile geteilt: [mm] x_{j} [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{n}*j
[/mm]
Dann hab ich noch per Substitution [mm] e^{x} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] gesetzt und das ausgerechnet und komme auf: x= [mm] ln(\bruch{(b-a)^{4}}{4})...ist [/mm] das richtig...?^ das ist eigentlich meine Frage.
Danke schonmal :)
|
|
| |
|
> Berechen Sie [mm]\integral_{a}^{b}{e^{x} dx}[/mm] ueber die
> Definition des Integrals. Zerlegen Sie dazu das Intervall
> [a,b] wie in der Vorlesung in n gleiche Teile mit Knoten
> [mm](x_{j})_{j=0,...,n}[/mm] und berechnen Sie explizit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F_{n},[/mm] mit [mm]F_{n}:= \summe_{j=1}^{n}f(x_{j-1})(x_{j}-x_{j-1}).[/mm]
>
> So...! Hab das jetzt so in n gleich Teile geteilt: [mm]x_{j} = \bruch{b-a}{n}*j[/mm]
Beinahe, aber nicht ganz richtig: denn [mm] $x_0$ [/mm] muss doch gleich $a$ sein. Daher schlage ich vor, [mm] $x_j [/mm] := [mm] a+j\frac{b-a}{n}$ [/mm] zu setzen.
> Dann hab ich noch per Substitution [mm]e^{x} = x^{3}[/mm] gesetzt
Und wozu denn dies?
> und das ausgerechnet und komme auf: x=
> [mm]ln(\bruch{(b-a)^{4}}{4})...ist[/mm] das richtig...?^
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, diese transzendente Gleichung [mm] $e^x=x^3$ [/mm] kannst Du mittels blossem Logarithmieren nicht lösen.
> das ist eigentlich meine Frage.
Nun weiss ich nicht, ob ich für die weitere Lösung der Aufgabe noch was schreiben soll. .. Wenn Du also die Untersumme [mm] $F_n$ [/mm] mit dem von mir vorgeschlagenen Werte für [mm] $x_j$ [/mm] hinschreibst, dann erhältst Du eine Summe, die Du mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen vereinfachen kannst:
[mm]F_n = \sum_{j=1}^n f(x_{j-1})(x_j-x_{j-1})=\sum_{j=1}^n e^{a+(j-1)\frac{b-a}{n}}\cdot\frac{b-a}{n}=e^a\cdot\frac{b-a}{n}\cdot \sum_{j=1}^n\left(e^{\frac{b-a}{n}}\right)^{j-1}=\cdots[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 07.07.2008 | | Autor: | xcase |
hm.....ja also was ich jetzt noch gemacht hab ist:
[mm] e^{a}*\bruch{b-a}{n}\summe_{j=0}^{n-1}(e^{\bruch{b-a}{n}})^{j}. [/mm] Und weiss jetzt leider nicht wie ich die summe anders schreiben kann. ich seh das irgendwie nicht :o
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nenne [mm] e^{b-a}/n=q [/mm] erkennst du dann ie Summe wieder?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 08.07.2008 | | Autor: | xcase |
die summe aller potenzen?^^von q halt....und wie kann ich das anders schreiben :O
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 08.07.2008 | | Autor: | abakus |
> die summe aller potenzen?^^von q halt....und wie kann ich
> das anders schreiben :O
Suche dir die Summenformel für die geometrische Reihe heraus...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Di 08.07.2008 | | Autor: | xcase |
mit der geometrischen summe gehts dann so weiter:
[mm] e^{a}\bruch{b-a}{n}\bruch{1-e^{\bruch{b-a}{n}}^{n}}{1-e^{\bruch{b-a}{n}}} [/mm] = [mm] e^{a}\bruch{b-a}{n}\bruch{1-e^{b-a}}{1-e^{\bruch{b-a}{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{n}\bruch{e^{a}-e^{b}}{1-e^{\bruch{b-a}{n}}}
[/mm]
komm wieder nicht weiter...
Danke fuer die Hilfe :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bist schon fast am Ende!
du hast
> = [mm]\bruch{b-a}{n}\bruch{e^{a}-e^{b}}{1-e^{\bruch{b-a}{n}}}[/mm]
besser schreiben als [mm] (e^b-e^a)*\bruch{1}{(e^{(b-a)/n}-1)*n/(b-a)}
[/mm]
klar, dass du fertig bist wenn für n gegen [mm] \infty [/mm] der Nenner 1 wird!
also :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(e^{(b-a)/n}-1)*n/(b-a) [/mm] zu berechnen.
irgendne Eigenschaft von efkt muss man jetzt benutzen, z. Bsp die Reihe
[mm] e^x=1+x+x^2/2+ [/mm] höhere Potenzen von x
also wend das für x=(b-a)/n an!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Di 08.07.2008 | | Autor: | xcase |
ok also....der limes dieses g anzen ausdruckes ist anscheinend 0....(vorerst).
ICh weiss jetzt nicht genau was du meinst was ich auf x = [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] anwenden soll....aber kann man nicht einfach x = [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] substituieren und dann steht da ein grenzwert: [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] ....das geht warscheinlich nicht....^^
|
|
|
| |
|
Hallo
Natürlich kannst du x=(b-a)/n setzen, dann musst du aber x-->0 laufen lassen, da ja n gegen unendlich läuft.
dann hast du eine unbestimmte Situation (0/0)
Kann man z.B. mit de l Hôpital lösen (weiß nicht, ob ihr das schon in den vorlesungen diskutiert habt)
Oder, wie leduart anmerkte, du wendest die Definition der Exp-Funktion als Potenzreihe an.
Dan tust du so, als ob man durch 0 teilen darf und schon hast du die 1 stehen.
Gruß
Andrè
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 10.07.2008 | | Autor: | xcase |
Ich versteh das nicht. Wenn ich die def. von der Exp funktion nehmen steht da doch wenn ich fuer x = (b-a)/n einsetze:
steht dann in der klammer: (1 - (b-a)/n + [mm] (b-a)^{2}/n [/mm] ... -1 )((b-a)/n) wenn ich jetzt n gegen unendliche laufen lasse hab ich mir ja auch nicht geholfen oder :O
kommt doch dann 0*0 raus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Do 10.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich versteh das nicht. Wenn ich die def. von der Exp
> funktion nehmen steht da doch wenn ich fuer x = (b-a)/n
> einsetze:
> steht dann in der klammer: (1 - (b-a)/n + [mm](b-a)^{2}/n[/mm] ...
> -1 )((b-a)/n)
wenn das der Nenner sein soll ist das falsch: da steht doch
[mm] (e^{(b-a)/n}-1)*n/(b-a)=....,ausmultiplizieren [/mm] und dann n gegen [mm] \infty
[/mm]
dann bleib ne 1 und der Rest geht gegen 0!
etwas sorgfältiger arbeiten!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 10.07.2008 | | Autor: | xcase |
also entweder bin ich zu doof oder keine ahnung:
Mein Nenner:
[mm] \bruch{ne^{\bruch{b-a}{n}}-n}{(b-a)} [/mm] = [mm] \bruch{n(e^{\bruch{b-a}{n}}-1)}{b-a}....kann [/mm] man jetzt sagen der nenner geht gegen 1? versteh ich nicht.
in der klammer kommt doch 0 raus....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 10.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also entweder bin ich zu doof oder keine ahnung:
> Mein Nenner:
> [mm]\bruch{ne^{\bruch{b-a}{n}}-n}{(b-a)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(e^{\bruch{b-a}{n}}-1)}{b-a}....kann[/mm] man jetzt
> sagen der nenner geht gegen 1? versteh ich nicht.
> in der klammer kommt doch 0 raus....
[mm] \bruch{n(e^{\bruch{b-a}{n}}-1)}{b-a}=\bruch{n(1+(b-a)/n+1/2*(b-a)^2/n^2+...-1)}{b-a}
[/mm]
[mm] =\bruch{n(\bruch{b-a}{n}+0,5*(\bruch{b-a}{n})^2+...}{b-a}=1+0,5*\bruch{b-a}{n}+1/6*(\bruch{b-a}{n})^2+...)
[/mm]
jetzt n gegen [mm] \infty [/mm] kannst du das sonst stimmt deine erste Frage!
Gruss leduart
|
|
|
|
