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| Aufgabe | Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale unter Anwendung geeigneter Integrationsregeln:
[mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{e^{x}}{1+9*e^{2*x}}) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{x+1}{x^2+4x+4}) dx} [/mm] |
Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich an de Aufgaben rangehen muss, hab hier an Substitution gedacht, aber bräuchte einen Ansatz was hier sinnvoll ist zu substituieren und warum gerade das, da ich generell Schwierigkeiten habe zu sehen was ich ersetzen muss und warum.
Lg Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Christian,
> Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale unter
> Anwendung geeigneter Integrationsregeln:
> [mm]\integral_{}^{}{f(\bruch{e^{x}}{1+9*e^{2*x}}) dx}[/mm]
Was macht das f im Integral??
Du meinst bestimmt [mm] $\int{\frac{e^x}{1+9e^{2x}} \ dx}$
[/mm]
Substituiere hier [mm] $u:=u(x)=3e^x$
[/mm]
Damit solltest du auf ein bekanntes Integral kommen ...
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(\bruch{x+1}{x^2+4x+4}) dx}[/mm]
Hier wieder, gemeint ist [mm] $\int{\frac{x+1}{x^2+4x+4} \ dx}$
[/mm]
Bedenke hier, dass du den Nenner schreiben kannst als [mm] $(x+2)^2$
[/mm]
Mache damit eine Partialbruchzerlegung oder einfacher, forme "geschickt" um
[mm] $\frac{x+1}{(x+2)^2}=\frac{x+1\red{+1-1}}{(x+2)^2}=\frac{x+2}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x+2)^2}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{(x+2)^2}$
[/mm]
Und das sollte doch klappen ...
> Ich weiß
> leider überhaupt nicht wie ich an de Aufgaben rangehen
> muss, hab hier an Substitution gedacht, aber bräuchte einen
> Ansatz was hier sinnvoll ist zu substituieren und warum
> gerade das, da ich generell Schwierigkeiten habe zu sehen
> was ich ersetzen muss und warum.
> Lg Christian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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d.h. [mm] u=3*e^x
[/mm]
du/dx= [mm] 3*e^x [/mm] -> dx= [mm] \bruch{1}{3*e^x}*du
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3+9*u^2} du}
[/mm]
ist das soweit richtig? Woher sieht man, dass man dort [mm] 3*e^x [/mm] substituieren muss? Ich wäre da nie drauf gekommen?
Bei dem zweiten Integral das hab ich hinbekommen =) bin auf den Ansatz der Partialbruchzerlegung nicht gekommen danke!
(ja das f bei den Integralen war nur ein versehen sorry!)
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Hallo Christian!
> d.h. [mm]u=3*e^x[/mm]
> du/dx= [mm]3*e^x[/mm] -> dx= [mm]\bruch{1}{3*e^x}*du[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{3+9*u^2} du}[/mm]
> ist das soweit richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es ergibt sich:
[mm] $$\integral{\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1+u^2} \ du}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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hmm das versteh ich nicht so ganz man hat doch das integral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^x}{1+3*u^2}*\bruch{1}{3*e^x} du}
[/mm]
man setzt doch für [mm] 9*e^2x=3*u^2 [/mm] oder etwa nicht?
lg
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> man setzt doch für [mm]9*e^{2x}=3*u^2[/mm] oder etwa nicht?
Hallo,
nein: Du substituierst [mm] 3e^x [/mm] =u.
es ist [mm] 9*e^{2x}= (3e^x)^2= u^2
[/mm]
Gruß v. Angela
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Achso vielen dank, das war ein Denkfehler von mir! aber wie kommt man dadrauf, das man [mm] 3*e^x [/mm] substituieren muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist R eine rationale Funktion und zu berechnen sei
[mm] \integral_{}^{}{R(e^x) dx},
[/mm]
so empfiehlt sich die Substitution u = [mm] e^x, [/mm] den dies führt auf die Integration eine rationalen Funktion, genauer:
[mm] \integral_{}^{}{R(e^x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{R(u)}{u} du}
[/mm]
FRED
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kann das vielleicht jemand in Worten ausdrücken ich verstehe das mit den Formeln leider noch nicht so ganz
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Hallo Christiank87,
> kann das vielleicht jemand in Worten ausdrücken ich
> verstehe das mit den Formeln leider noch nicht so ganz
Lies dir zunächst ![[]](/images/popup.gif) diesen Artikel durch, der auch viele Beispiele enthält. Hier substituierst du [mm]x(u):=\ln u[/mm] mit [mm]x'(u)=\tfrac{1}{u}[/mm]. Da [mm]\ln(\cdot{})[/mm] die Umkehrfunktion zu [mm]e^{\cdot{}}[/mm] ist, gilt [mm]\textstyle\int{R\left(e^x\right)\,\operatorname{d}\!x}=\int{R\left(e^{\ln(u)}\right)\cdot{}\frac{1}{u}\,\operatorname{d}\!u}=\int{\frac{R(u)}{u}\,\operatorname{d}\!u}[/mm].
Gruß V.N.
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