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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:26 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich habe ein kleines Problem. Bei einer Physik aufgabe soll ich den Fluss durch eine Fläche berechnen. Der Fluss hat eine best. Funktion f(x) welche hier nicht weiter interessiert, es ist nur wichtig zu wissen dass der Fluss vom Abstand x zu dem Punkt an dem man ihn berechnen will abhängig ist. Nun dieser Fluss geht durch eine quadratische Fläche im 3D-Raum. In der einen Ecke ist der Abstand dann x in der oberen Ecke ist er wurzel(x²+a²), wobei a die Seitenlänge der quadratischen Fläche ist. Nun in der seitlichen Ecke ist der Abstand ebenfalls wurzel(x²+a²) in der oberen seitlichen Ecke ist der Abstand nun folglich wurzel(x²+2a²). Wie integriere ich nun das ganze, so dass ich den Fluss durch die gesamte Fläche habe? Magician
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
ich fürchte, dass, wenn deine Beschreibung wirklich stimmt, das Ganze trivial wird. (Ich glaube deshalb, dass du das Vektorfeld vielleicht doch noch etwas genauer beschreiben solltest).
Warum?
Du spannst offenbar dein Quadrat parallel zur y-z-Ebene auf, sagen wir bei [mm]x=x_0[/mm]. In diesem Falle interessiert doch nur die x-Komponente des Vektorfeldes, und die ist, weil das Vektorfeld gemäss deinen Angaben nur von x abhängt, im ganzen Quadrat konstant.
(Zum Beispiel [mm]f(x_0)[/mm])
Und dann ist doch der Fluss durch das Quadrat mit der Seite [mm]a[/mm] einfach [mm]f(x_0)*a^2[/mm]
Und dafür brauchte ich ja gar nicht zu integrieren! 
mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:23 So 16.05.2004 | | Autor: | Magician |
Ich glaube ich habe mich etwas falsch ausgedrückt. Das Vektorfeld hängt nicht nur von x ab sondern bei genauerer Überlegung auch von y und z. Das quadrat liegt in der y z Ebene. Das Vektorfeld entspringt einem Punkt auf der x-Achse und läuft radial in alle Richtungen von diesem Punkt weg. Ich habe fälschlicher Weise x mit der x-Achse in Zusammenhang gebracht, x war hier der Abstand von diesem Punkt zu einem Punkt auf dem Quadrat (sorry). Die Funktion beinhaltet also nicht x als x-Achsenkoordinate sondern x als Abstand von diesem Punkt. Wir können auch sagen dass wir hierfür t nehmen und somit eine Funktion f(t) haben. Die Funktion sieht eigentlich so aus, lauter konstanten sagen wir k und der Abstand t im nenner also f(t)=k/t. Nun hängt t ja von x y und z ab. Wie integriere ich nun das ganze?. MfG Magician.
PS: Entschuldigung aber ich war glaube beim Posten der Frage irgednwie noch nicht richtig wach.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 16.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo magician
wenn ich dich richtig verstehe, handelt es sich also um ein radiales Vektorfeld, deren 'Stärke' den Betrag $k/r$ hat.
Im rechtwinkligen Koordinatensystem sieht es dann so aus(mit dem Ursprung des Vektorfeldes im Koordinatenursprung):
[mm] $(\bruch{k}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{k}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}},\bruch{k}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}})$
[/mm]
Jetzt kannst du wieder die Anordnung nehmen, wie ich sie oben beschrieben habe, das Vektorfeld sieht dann so aus:
[mm] $(\bruch{k}{\wurzel{x_0^2+y^2+z^2}},\bruch{k}{\wurzel{x_0^2+y^2+z^2}},\bruch{k}{\wurzel{x_0^2+y^2+z^2}})$
[/mm]
Für den Fluss durch eine Fläche interessiert jeweils nur der Betrag des Vektorfeldes senkrecht auf das Flächenelement, und das ist in unserem Beispiel nur die x-Komponente. Somit ergibt sich für dein Problem, das folgende Integral zu berechnen:
[mm] $\int_{0}^{a}\!\!\!\int_{0}^{a}\bruch{1}{\wurzel{x_0^2+y^2+z^2}}\, [/mm] dy dz$
Dabei ist [mm] $x_0$ [/mm] natürlich als konstant aufzufassen.
Ich weiss, diese Antwort ist etwas kurz ausgefallen, aber ich bin übermüdet und muss mal etwas Schlaf nachholen. Solltest du dazu noch weitere Fragen haben, dann melde dich bitte einfach wieder, irgendwann sollte schon jemand in diesem Forunm ausgeschlafen sein! 
Mit lieben Grüssen
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