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Integration: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mo 23.05.2005
Autor: starkeeper

Hi,
auf folgende Aufgabe bin ich beim lernen gestossen:

$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{1+e^x} dx}$ [/mm]

Ich habe es schon mal mit substitution versucht, bin aber nicht weit gekommen. Da es meiner Meinung nach keine Vereinfachung bringt. Ich erhalte dann wieder einen Bruch der sich nicht integrieren lässt.


-----
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mo 23.05.2005
Autor: Fabian

Hallo Starkeeper

Versuch mal die Substitution [mm] t=e^{x} [/mm]

Probier erstmal alleine auf die Lösung zu kommen. Wenn du nicht weiterkommst , dann melde dich noch mal und ich werd dir die Lösung ein wenig ausführlicher erklären!

Gruß Fabian

Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Mo 23.05.2005
Autor: starkeeper

Also ich substituiere $ [mm] u=e^x [/mm] $

Dann komme ich soweit:
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{1+e^x} dx} [/mm] $
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{(1+u)*e^x} du} [/mm] $
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{x}}{1+u} du} [/mm] $
kann man das so machen?
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{u}{1+u} du} [/mm] $

Aber wie ich das nun integriere, weiss ich nicht. Soweit war ich auch, bevor ich den Thread aufgemacht hatte.



Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Mo 23.05.2005
Autor: Max

Hallo starkeeper,

die MBSubsitutionsregel lautet ja:

[mm] $\int_a^b f\left(g(x)\right) \cdot [/mm] g'(x) dx = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} [/mm] f(t) dt$

Mit [mm] $fx)=\frac{x}{1+x}$ [/mm] und [mm] $g(x)=e^x$ [/mm] mit [mm] $g'(x)=e^x$ [/mm] gilt dann:

[mm] $\int_a^b \frac{e^{2x}}{1+e^x}=\int_a^b \frac{e^x}{1+e^x}\cdot e^x [/mm] dx = [mm] \int_a^b \frac{g(x)}{1+g(x)}\cdot [/mm] g'(x) dx = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} \frac{t}{1+t}dt [/mm] = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} \frac{(1+t)-1}{1+t}dt [/mm] = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} \left( 1 - \frac{1}{1+t}\right)dt [/mm] = [mm] \cdots$ [/mm]

Du hast also bisher alles richtig gemacht, du musst jetzt nur noch das Integral lösen...

Gruß Max



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Bezug
Integration: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Di 24.05.2005
Autor: starkeeper

Also als Ergebnis erhalte ich nun:
$ I = [mm] e^x [/mm] - ln|1 + [mm] e^x| [/mm] $

Danke allen Helfern!

Bezug
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