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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x^2-2x} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe bis jetzt folgendes gemacht.
Die Substitution lautet x-1=cosh(u).
Kann mir jemand erlären warum dies so sein sollte?
Ich habe die Substitution von den Lösungen im Papula.
Ich habe folgendes versucht [mm] u=x^2-2x, dx=\bruch{du}{2x-2}
[/mm]
jetzt könnte man dieses noch durch 2 teilen. Keine Ahnung woher diese Substitution kommt.
Weiter bin ich wie folgt vorgegangen:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x^2-2x} dx}= [/mm] durch quadr. Ergänzung [mm] \wurzel{(x-1)^2-1}
[/mm]
Wenn ich jetzt x-1 substituiere mit coshu habe ich [mm] \wurzel{coshu^2-1}
[/mm]
Jetzt mache ich vom trig. Pythagoras gebrauch:
[mm] coshu^2-1=sinhu^2, [/mm] jetzt noch die wurzel ziehen dann habe ich
[mm] \integral_{}^{}{sinh(u) dx}=cosh(u)=cosh(x-1).
[/mm]
die Lösung ist aber völlig daneben.
Sie würde wie folgt lauten:
[mm] \bruch{1}{2}*(x-1)*\wurzel{x^2-2x}-\bruch{1}{2}* [/mm] arccosh(x-1)+C
Könnt Ihr mir bitte weiterhelfen?
Danke
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Hallo marco-san,
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{x^2-2x} dx}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
> Ich habe bis jetzt folgendes gemacht.
>
> Die Substitution lautet x-1=cosh(u).
> Kann mir jemand erlären warum dies so sein sollte?
>
> Ich habe die Substitution von den Lösungen im Papula.
>
>
> Ich habe folgendes versucht [mm]u=x^2-2x, dx=\bruch{du}{2x-2}[/mm]
>
> jetzt könnte man dieses noch durch 2 teilen. Keine Ahnung
> woher diese Substitution kommt.
>
> Weiter bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{x^2-2x} dx}=[/mm] durch quadr.
> Ergänzung [mm]\wurzel{(x-1)^2-1}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt x-1 substituiere mit coshu habe ich
> [mm]\wurzel{coshu^2-1}[/mm]
>
>
> Jetzt mache ich vom trig. Pythagoras gebrauch:
>
> [mm]coshu^2-1=sinhu^2,[/mm] jetzt noch die wurzel ziehen dann habe
> ich
>
> [mm]\integral_{}^{}{sinh(u) dx}=cosh(u)=cosh(x-1).[/mm]
>
> die Lösung ist aber völlig daneben.
>
> Sie würde wie folgt lauten:
> [mm]\bruch{1}{2}*(x-1)*\wurzel{x^2-2x}-\bruch{1}{2}*[/mm]
> arccosh(x-1)+C
>
> Könnt Ihr mir bitte weiterhelfen?
Nun, für das Integral [mm]\sqrt{x^2-1}[/mm] verwendest du die Substitution [mm]x=\cosh(u)[/mm]
Das rührt von dem Zusammenhang [mm]\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1[/mm], also [mm]\cosh^2(z)-1=\sinh^2(z)[/mm]
Das kannst du ja mal durchrechnen ...
Für dein Integral mache eine quadr. Ergänzung, es ist [mm]\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{x^2-2x\red{+1-1}}=\sqrt{(x-1)^2-1}[/mm]
So erklärt sich die Substitution aus dem Buch
>
> Danke
>
Büdde
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
vielen Dank. Jetzt schnall ichs.
Wie aber muss ich weiterrechnen? Ich komme dauernd auf die falsche Lösung.
Hast Du mir einen Ansatz?
Danke und Gruss
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Hallo marco-san,
> Hallo Schachuzipus,
>
> vielen Dank. Jetzt schnall ichs.
>
> Wie aber muss ich weiterrechnen? Ich komme dauernd auf die
> falsche Lösung.
>
> Hast Du mir einen Ansatz?
Nun, wenn Du die Substitution
[mm]x-1=\cosh\left(u\right)[/mm]
verwendest, dann musst Du auch
[mm]dx= \sinh\left(u\right) \ du[/mm]
ersetzen.
>
> Danke und Gruss
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x^2-2x} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe bis jetzt folgendes gemacht.
Die Substitution lautet x-1=cosh(u).
Kann mir jemand erlären warum dies so sein sollte?
Ich habe die Substitution von den Lösungen im Papula.
Ich habe folgendes versucht
jetzt könnte man dieses noch durch 2 teilen. Keine Ahnung woher diese Substitution kommt.
Weiter bin ich wie folgt vorgegangen:
durch quadr. Ergänzung
Wenn ich jetzt x-1 substituiere mit coshu habe ich
Jetzt mache ich vom trig. Pythagoras gebrauch:
jetzt noch die wurzel ziehen dann habe ich
die Lösung ist aber völlig daneben.
Sie würde wie folgt lauten:
arccosh(x-1)+C
Könnt Ihr mir bitte weiterhelfen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Aus x-1=cosh(u) folgt:
[mm] $cosh^2(u)= x^2-2x+1$
[/mm]
also
[mm] $x^2-2x= cosh^2(u)-1= sinh^2(u)$
[/mm]
Weiter ist noch
$dx= sinh(u)*du$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Do 04.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marco!
Bitte keine Doppelposts fabrizieren. Du hast diese Frage bereits hier gestellt.
Stelle dann entsprechenden Rückfragen in dem alten Thread.
Gruß
Loddar
PS: Werde nunmehr beide Threads zusammenfügen.
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Hallo zusammen,
danke für die Hilfe.
Ich komme aber wirklich nicht mehr weiter.
Folgendes habe ich gemacht:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(x-1)^2-1} dx}
[/mm]
dx=sinh(u) du
(x-1) mit cosh(u) ersetzt.
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(cosh^2(u)-1} *sinh(u)du}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\wurzel{(sinh^2(u)} *sinh(u)du}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\wurzel{(sinh^2}} [/mm] *du
Stimmt das bis hier hin?
Wenn ja, wie mache ich weiter? Ich habe keine Formel oder eine Trig. Beziehung die ich anwenden könnte.
Danke für eure Hilfe.
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Hallo,
sorry, der letzte Teil war falsch.
[mm] \integral_{}^{}{(sinh^2(u)*du}
[/mm]
jetzt ersetze ich [mm] sinh^2(u) [/mm] mit [mm] \sinh(u)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{u}-e^{-u}\right)
[/mm]
jetzt habe ich [mm] [\sinh(u)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{u}-e^{-u}\right)]^2
[/mm]
ich komme nun auf folgendes Ergebnis.
[mm] \bruch{e^(2u)}{8}-\bruch{e^(-2u)}{8}-1
[/mm]
Ist das bis hier hin richtig?
Wie geht es nun weiter?
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Hallo marco-san,
> Hallo,
>
> sorry, der letzte Teil war falsch.
>
> [mm]\integral_{}^{}{(sinh^2(u)*du}[/mm]
>
> jetzt ersetze ich [mm]sinh^2(u)[/mm] mit
> [mm]\sinh(u)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{u}-e^{-u}\right)[/mm]
>
> jetzt habe ich
> [mm][\sinh(u)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{u}-e^{-u}\right)]^2[/mm]
>
>
> ich komme nun auf folgendes Ergebnis.
>
> [mm]\bruch{e^(2u)}{8}-\bruch{e^(-2u)}{8}-1[/mm]
>
> Ist das bis hier hin richtig?
Der rot markierte Teil stimmt nicht: [mm]\bruch{e^(2u)}{8}-\bruch{e^(-2u)}{8}\red{-1}[/mm]
Poste doch mal Deine Rechenschritte,
wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
>
> Wie geht es nun weiter?
>
Nun, das ganze zurücktransformieren.
Gruss
MathePower
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Hallo,
ja, du hast recht. Es wäre eigentlich [mm] \bruch{e^(2u)}{8}-\bruch{e^(-2u)}{8}-\bruch{1}{2}
[/mm]
zurücktransformieren:
x-1=cosh(u)
arccosh(x-1)=u
[mm] \bruch{e^(2arccosh(x-1)=)}{8}-\bruch{e^(-2arccosh(x-1)=)}{8}-\bruch{1}{2}
[/mm]
ist das in Ordnung so?
jetzt noch die e^() wegbringen durch logarithmieren.
[mm] \bruch{2*arccosh(x-1)}{8}-\bruch{-2*arccosh(x-1)}{8}-ln(\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] \bruch{4*arccosh(x-1)}{8}=ln(\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] \bruch{arccosh(x-1)}{4}=ln(\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] arccosh(x-1)=4*ln(\bruch{1}{2})
[/mm]
Auch in Ordnung?
Wie gehts jetzt weiter?
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Hallo marco-san,
> Hallo,
>
> ja, du hast recht. Es wäre eigentlich
> [mm]\bruch{e^(2u)}{8}-\bruch{e^(-2u)}{8}-\bruch{1}{2}[/mm]
Korrekt muss das lauten:
[mm]\bruch{e^(2u)}{8}-\bruch{e^(-2u)}{8}-\bruch{1}{2}\blue{u}[/mm]
>
> zurücktransformieren:
>
> x-1=cosh(u)
> arccosh(x-1)=u
>
> [mm]\bruch{e^(2arccosh(x-1)=)}{8}-\bruch{e^(-2arccosh(x-1)=)}{8}-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ist das in Ordnung so?
>
> jetzt noch die e^() wegbringen durch logarithmieren.
>
> [mm]\bruch{2*arccosh(x-1)}{8}-\bruch{-2*arccosh(x-1)}{8}-ln(\bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm]\bruch{4*arccosh(x-1)}{8}=ln(\bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm]\bruch{arccosh(x-1)}{4}=ln(\bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm]arccosh(x-1)=4*ln(\bruch{1}{2})[/mm]
>
>
> Auch in Ordnung?
Leider nein.
Um die Rücktransformation ausführen zu können,
brauchst die Kenntnis, daß gilt:
[mm]e^{w}=\cosh\left(w\right)+\sinh\left(w\right)[/mm]
Weiterhin sind diese ![[]](/images/popup.gif) Additonstheoreme hilfreich.
>
> Wie gehts jetzt weiter?
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
vielen Dank. Dies geht aber wirklich deutlich zu weit für unser Mathe Niveau.
Ich glaube es muss eine einfacher Methode geben.
Kann mir das irgendjemand mal aufzeigen???
Ich komme einfach nicht weiter. Ich beschäftige mich seit gestern Abend immer wieder mit dieser Aufgabe.
Danke und Gruss
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Hallo marco-san,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank. Dies geht aber wirklich deutlich zu weit für
> unser Mathe Niveau.
> Ich glaube es muss eine einfacher Methode geben.
Die gibt es, wenn die Stammfunktionen zu [mm]\sinh\left(u\right)[/mm]
und [mm]\cosh\left(u\right)[/mm] bekannt sind.
Dann hilt hier die partielle Integration weiter.
>
> Kann mir das irgendjemand mal aufzeigen???
>
> Ich komme einfach nicht weiter. Ich beschäftige mich seit
> gestern Abend immer wieder mit dieser Aufgabe.
>
> Danke und Gruss
Gruss
MathePower
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Hallo,
wieso so schnell aufgeben?
Es ist [mm]\sinh'(u)=\cosh(u)[/mm] und [mm]\cosh'(u)=\sinh(u)[/mm]
Das kannst du schnell nachrechnen über die Definitionen von [mm]\sinh, \cosh[/mm] mit der e-Funktion
Damit ist das [mm]\int{\sinh^2(u) \ du}=\int{\sinh(u)\cdot{}\sinh(u) \ du}[/mm] mit partieller Integration doch schnell erschlagen:
[mm]\int{\sinh(u)\cdot{}\sinh(u) \ du} \ = \ \sinh(u)\cosh(u)-\int{\cosh^2(u) \ du}[/mm]
Nun erinnere dich an den Zusammenhang, den wir oben schon hatten:
[mm]\cosh^2(u)-\sinh^2(u)=1[/mm], also [mm]\cosh^2(u)=1+\sinh^2(u)[/mm]
Also [mm]\sinh(u)\cosh(u)-\int{\cosh^2(u) \ du} \ = \ \sinh(u)\cosh(u)-\int{(1+\sinh^2(u)) \ du} \ = \ \sinh(u)\cosh(u)-u-\int{\sinh^2(u) \ du}[/mm]
Also haben wir:
[mm]\int{\sinh^2(u) \ du}=\sinh(u)\cosh(u)-u-\int{\sinh^2(u) \ du}[/mm]
Das löse nun nach [mm]\int{\sinh^2(u) \ du}[/mm] auf.
Am Ende noch resubstituieren und fertig ...
Das läuft doch genau wie bei dem Integral [mm]\int{\sin^2(x) \ dx}[/mm], wo du auch partiell integrierst und die Additiomstheoreme anwendest ...
Gruß
schachuzipus
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