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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 25.01.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral{\bruch{1}{sinh(x)}dx} [/mm] für (x>0) |
Hallo Leute irgendwie komme ich nicht wirklich weiter:
Also ich weiss, dass [mm] {sinh(x)}=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{sinh(x)}dx}=\integral{\bruch{1}{\bruch{e^x-e^{-x}}{2}}dx}
[/mm]
Erbitte Hilfe =)
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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Hallo Ilya,
> Bestimmen Sie das folgende Integral:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{sinh(x)}dx}[/mm] für (x>0)
> Hallo Leute irgendwie komme ich nicht wirklich weiter:
Das ist auch ganz schön "tricky"
>
> Also ich weiss, dass [mm]{sinh(x)}=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{sinh(x)}dx}=\integral{\bruch{1}{\bruch{e^x-e^{-x}}{2}}dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich sehe gerade nicht, dass das entscheidend hilft ...
Ich habe es mit einem kleinen Trick umgeschrieben, substituiert und dann mit Partialbruchzerlegung erschlagen.
(noch nicht zuende gerechnet, aber es scheint zu klappen)
Zunächst schaue dir die Additionstheoreme für [mm]\sinh[/mm] an ...
Es ist [mm]\sinh(x)=\sinh\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=2\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\cosh\left(\frac{x}{2}\right)[/mm]
Also hast du [mm]\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\cosh\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx}[/mm]
Nun substituiere [mm]u=u(x):=\cosh\left(\frac{x}{2}\right)[/mm]
Dann kommst du auf ein Integral, das du mit einer Partialbruchzerlegung zernichten kannst 
Beachte [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$ [/mm] ...
>
> Erbitte Hilfe =)
>
> Vielen Dank im Voraus,
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 25.01.2011 | | Autor: | Random |
Okay also wenn ich jetzt cosh(x/2) sustituiere und ableite kriege ich 1/2sinh(x/2)
Das Dann mit dem Rest verrechnet gib [mm] \bruch{1}{4}\integral{\bruch{1}{sinh^{2}(x/2)*u}}
[/mm]
Ableitung von cosh(x/2) = 1/2sinh(x/2) oder ?
Bin ich soweit richtig dabei oder ist irgendwas falsch gelaufen und wenn ja was muss ichd ann machen xD.
Alsos Partialbruchzerlegung hab ich mir noch nicht angeschaut aber ich mach es sofort sobald ich bei der Stelle bin wo ich das brauche =).
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Hallo Random,
> Okay also wenn ich jetzt cosh(x/2) sustituiere und ableite
> kriege ich 1/2sinh(x/2)
>
> Das Dann mit dem Rest verrechnet gib
> [mm]\bruch{1}{4}\integral{\bruch{1}{sinh^{2}(x/2)*u}}[/mm]
[mm]\sinh^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] mußt Du auch ersetzen.
>
> Ableitung von cosh(x/2) = 1/2sinh(x/2) oder ?
Ja.
>
> Bin ich soweit richtig dabei oder ist irgendwas falsch
> gelaufen und wenn ja was muss ichd ann machen xD.
>
> Alsos Partialbruchzerlegung hab ich mir noch nicht
> angeschaut aber ich mach es sofort sobald ich bei der
> Stelle bin wo ich das brauche =).
Der Tip meines Vorredners ist gut und richtig.
Jedoch kannst Du Dir die Partialbruchzerlegung ersparen,
wenn Du die 1 ersetzt:
[mm]\cosh^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)-\sinh^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)=1[/mm]
Dann steht da:
[mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\sinh\left(\bruch{x}{2}\right)*\cosh\left(\bruch{x}{2}\right)} \ dx}=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{\cosh^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)-\sinh^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)}{\sinh\left(\bruch{x}{2}\right)*\cosh\left(\bruch{x}{2}\right)} \ dx}=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{\cosh\left(\bruch{x}{2}\right)}{\sinh\left(\bruch{x}{2}\right)}-\bruch{\sinh\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cosh\left(\bruch{x}{2}\right)}} \ dx}[/mm]
Und das rechtsstehende Integral kann man jetzt leicht integrieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 25.01.2011 | | Autor: | Random |
Hi Mathepower,
danke für deine Antwort. Also das mit der 1 ersetzen und kürzen habe ich jetzt verstanden. Aber wie kann ich das denn leicht integrieren?
Also sinh/cosh ist tanh
Und umgekerht coth.
Aber ich hab hier ja sinh(x/2)/cosh(x/2)
Was ist mit x/2?
WIe integriere ich das?
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hast Du eigentlich das
https://matheraum.de/read?i=763082
gelesen ?
Ich bin der Meinung, so gehts etwas einfacher
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Di 25.01.2011 | | Autor: | Random |
Danke dir Fred xD!
Ich hab nur versucht mich auf einen Lösungsweg zu konzentrieren, weil ich glaub wenn ich beide versucht hätte, hätte ich keines davon geschafft xD.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Hi Mathepower,
>
> danke für deine Antwort. Also das mit der 1 ersetzen und
> kürzen habe ich jetzt verstanden. Aber wie kann ich das
> denn leicht integrieren?
>
> Also sinh/cosh ist tanh
> Und umgekerht coth.
>
> Aber ich hab hier ja sinh(x/2)/cosh(x/2)
Na, das ist $\tanh\left(\frac{x}{2}\right)$
>
> Was ist mit x/2?
>
> WIe integriere ich das?
Das ist doch wie bei der Integration von $\sin\left(ax+b)$
Lineare Substitution $u=ax+b$
Bzw. duch Hinsehen, dass du mit dem Faktor 2 ausgleichen musst.
>
> Vielen Dank im Voraus,
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Di 25.01.2011 | | Autor: | Random |
Danke sehr! xD Stand etwas aufm Schlauch =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit: substituiere [mm] $u=e^x$
[/mm]
FRED
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