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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mo 27.06.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Integriere [mm] $\integral [/mm] t [mm] \cdot e^t^2 [/mm] dt$ |
Wir haben heute noch was neues gelernt, nämlich ohne Substitution. Ich weiß aber jetzt an einer Stelle nicht mehr weiter:
[mm] $\integral_{x_0}^{x_1} [/mm] t [mm] \cdot e^t^2 [/mm] dt = ...$
[mm] $x(t)=t^2 \Leftrightarrow t(x)=\sqrt{x} \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow dt=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx$
[/mm]
$... = [mm] \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} [/mm] t [mm] \cdot e^t^2 \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} [/mm] dt = ...$
Jetzt hängt das ganze aber von zwei Variablen ab! Das darf ja nicht sein, oder? Oder darf ich die von x abhängigen Teile vor's Integral ziehen?
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Hallo bandchef,
> Integriere [mm]\integral t \cdot e^t^2 dt[/mm]
> Wir haben heute noch
> was neues gelernt, nämlich ohne Substitution. Ich weiß
> aber jetzt an einer Stelle nicht mehr weiter:
>
> [mm]\integral_{x_0}^{x_1} t \cdot e^t^2 dt = ...[/mm]
>
> [mm]x(t)=t^2 \Leftrightarrow t(x)=\sqrt{x} \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow dt=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx[/mm]
>
> [mm]... = \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} t \cdot e^t^2 \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \red{dt} = ...[/mm]
[mm]\red{dx}[/mm] !!
Na, das ist aber doch eine Substitution ...
Es ist doch [mm]t=t(x)=\sqrt{x}[/mm] und daher auch [mm]t^2=x[/mm]
Also hast du im Integranden doch [mm]\sqrt{x}\cdot{}e^x\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}x^{-1/2}=\frac{1}{2}e^x[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
>
> Jetzt hängt das ganze aber von zwei Variablen ab! Das darf
> ja nicht sein, oder? Oder darf ich die von x abhängigen
> Teile vor's Integral ziehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 27.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Wie kommt das $sqrt{x}$ im Integranden zu stande?
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Hallo,
> Wie kommt das [mm]sqrt{x}[/mm] im Integranden zu stande?
Na, das habe ich doch geschrieben, hast du meine Antwort nicht gelesen? ....
Da steht ein "t". Du hast oben selber geschrieben, dass mit [mm] $x(t)=t^2$ [/mm] dann [mm] $t=t(x)=\sqrt{x}$ [/mm] ist.
Also ersetzt man das $t$ durch [mm] $\sqrt{x}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 27.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab deine Antwort gelesen aber nicht gleich verstanden. Jetzt hab ich's aber kapiert. Ich hab jetzt das hier stehen:
[mm] $\frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} [/mm] x [mm] \cdot e^x [/mm] dx$
Das muss ich wahrscheinlich jetzt noch partiell Integrieren, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 27.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab deine Antwort gelesen aber nicht gleich verstanden.
> Jetzt hab ich's aber kapiert.
Das sieht aber nicht so aus !
>Ich hab jetzt das hier
> stehen:
>
> [mm]\frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} x \cdot e^x dx[/mm]
Das ist falsch.
Es ist [mm] \integral_{}^{}{te^{t^2} dt}= \frac{1}{2}\integral_{}^{}{ e^x dx }
[/mm]
FRED
>
> Das muss ich wahrscheinlich jetzt noch partiell
> Integrieren, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 27.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Das verstehe ich nicht. Mit schachuzipus Beispiel kommt man aber auf das was ich gepostet habe!
Edit. Du hast Recht. Es stimmt so nicht. Ich komm dann jetzt auf:
[mm] $\frac{1}{2}\left[ e^{{x_1}^2} - e^{{x_0}^2} \right] [/mm] = ...$
Wie geht das jetzt mit den [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_0 [/mm] weiter?
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Hallo,
berechnen möchtest Du $ [mm] \integral [/mm] t [mm] \cdot e^t^2 [/mm] dt $.
Du möchtest substituieren, und es wurde bereits festgestellt, daß dies wie folgt zu tun ist:
[mm] x=t^2, t=\wurzel{x} dt=\bruch{1}{2}x^{-1}{2}dx.
[/mm]
So. Nun setzt Du ein.
Jedes t ersetzt Du durch [mm] \wurzel{x}, [/mm] und das dt durch [mm] \bruch{1}{2}x^{-1}{2}dx.
[/mm]
Was steht dann da?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mo 27.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Meine letzte Antwort hab ich auf das bezogen nach der allerletzten Integration auf dem Blatt steht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 27.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich komme ja mittlerweile auf das gleiche Ergebnis wie Fred. Nämlich auf:
$ [mm] \frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} e^x [/mm] dx $
Ich hab jetzt nur Probleme, das Integrail richtig zu integrieren. Normalerweise heißt es ja Obergrenze minus Untegrenez, also so:
$ [mm] \frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} e^x [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2}\left[ e^{{x_1}^2} - e^{{x_0}^2} \right] [/mm] = ... $
Aber das würde ja irgendwie keinen Sinn machen, oder?
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> Ich komme ja mittlerweile auf das gleiche Ergebnis wie
> Fred. Nämlich auf:
>
> [mm]\frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} e^x dx[/mm]
>
> Ich hab jetzt nur Probleme, das Integrail richtig zu
> integrieren. Normalerweise heißt es ja Obergrenze minus
> Untegrenez, also so:
>
> [mm]\frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} e^x dx = \frac{1}{2}\left[ e^{{x_1}^2} - e^{{x_0}^2} \right] = ...[/mm]
>
> Aber das würde ja irgendwie keinen Sinn machen, oder?
Hallo,
wieso denn nicht?
Welchen "Sinn" erwartest Du noch?
Du solltest wirklich ein Integral mit Grenzen berechnen?
Oder wie Du in der Aufgabenstellung schriebst, das unbestimmte Integral
$ [mm] \integral [/mm] t [mm] \cdot e^t^2 [/mm] dt $= [mm] \integral e^x [/mm] dx mit der Substitution [mm] x=t^2 [/mm] ?
In diesem Falle müßtest Du nach dem Integrieren Resubstituieren, also jedes x durch [mm] t^2 [/mm] ersetzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 30.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hat jetzt ein wenig gedauert mit einem neuen Versuch, aber hier ist er jetzt:
$ \integral_{x_0}^{x_1} t \cdot e^{t^2} dt = ... $
$ x(t)=t^2 \Leftrightarrow t(x)=\sqrt{x} \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow dt=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx $
$ ... = \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} t \cdot e^{t^2} -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx = \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} \sqrt{x} \cdot e^{(\sqrt{x})^2} \cdot -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx = -\frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} e^x dx = -\frac{1}{2} \left[ e^x \right]_{x(x_0)}^{x(x_1)} = -\frac{1}{2}\left( e^{x_1^2} - e^{{x_0^2} \right)$
Stimmt das nun so? Kann man da jetzt noch weiter was vereinfachen?
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> Hat jetzt ein wenig gedauert mit einem neuen Versuch, aber
> hier ist er jetzt:
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> [mm]\integral_{x_0}^{x_1} t \cdot e^{t^2} dt = ...[/mm]
>
> [mm]x(t)=t^2 \Leftrightarrow t(x)=\sqrt{x} \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow dt=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx[/mm]
>
> [mm]... = \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} t \cdot e^{t^2} \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx = \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} \sqrt{x} \cdot e^{(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \integral_{x(x_0)}^{x(x_1)} e^x dx = \frac{1}{2} \left[ e^x \right]_{x(x_0)}^{x(x_1)} = \frac{1}{2}\left( e^{x_1^2} - e^{{x_0^2} \right)[/mm]
>
> Stimmt das nun so?
Hallo,
ja, das stimmt, aber das hattest Du doch zuvor schon, oder?
> Kann man da jetzt noch weiter was
> vereinfachen?
Nein, das kann so stehenbleiben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Do 30.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, danke. Ich war nur nicht mehr ganz sicher ob das so gepasst hat. Habs nochmal neu durchgerechnet
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