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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Sa 16.02.2013 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich habe ein Problem bei der Lösung eines Integrals. Und zwar möchte ich die Stammfunktion von folgendem Integral finden:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2e^-^x-e^x} dx}
[/mm]
Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen. Muss man vielleicht eine Partialbruchzerlegung machen? Oder wie kann ich hier vorgehen?
Viele Grüße,
Yonca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Sa 16.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem bei der Lösung eines Integrals. Und
> zwar möchte ich die Stammfunktion von folgendem Integral
> finden:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2e^-^x-e^x} dx}[/mm]
> Kann mir da
> jemand vielleicht weiterhelfen. Muss man vielleicht eine
> Partialbruchzerlegung machen? Oder wie kann ich hier
> vorgehen?
Wenn du den Bruch mit [mm] -e^{x} [/mm] erweiterst, bekommst du:
[mm] -\frac{e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}-3e^{x}+2}
[/mm]
Im Zähler ausmultiplizieren
[mm] =-\frac{e^{x}}{\left(e^{x}+2\right)\cdot\left(e^{x}+1\right)}
[/mm]
Kommst du damit evtl schon weiter?
>
> Viele Grüße,
> Yonca
Marius
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Hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2e^-^x-e^x} dx}[/mm]
> Kann mir da
> jemand vielleicht weiterhelfen. Muss man vielleicht eine
> Partialbruchzerlegung machen? Oder wie kann ich hier
> vorgehen?
eine ganz praktische Vorüberlegung hat dir M.Rex schon in seiner Antwort aufgezeigt. Um auf deine eigentliche Frage noch zu antworten: ja, mache das mit einer Partialbruchzerlegung (die sehr einfach geht, da sich der Nenner so schön faktorisieren lässt).
Du bekommst dann zwei Integranden der Form
[mm]\bruch{A}{e^x-B}[/mm]
Diese würde ich jeweiles wieder mit [mm] e^{-x} [/mm] erweitern und dann mittels Substitution integrieren.
Das zeigt dir: man kann auch auf die von Marius vorgeschlagene Erweiterung verzichten und alles in einem Aufwasch rechnen, aber wenn man es dennoch macht, sind die Rechnungen etwas bequemer.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 So 17.02.2013 | | Autor: | yonca |
Hallo,
danke für die Hilfe. Damit bin ich jetzt bis zu dem Integral gekommen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-e^-^x} dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-2e^-^x} dx}
[/mm]
Ist dies richtig.
Habe versucht dieses Integral mit Substitution zu lösen, allerdings ohne Erfolg. Hatte nach der Substitution immer noch ein x drin.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße, Yonca
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> Hallo,
>
> danke für die Hilfe. Damit bin ich jetzt bis zu dem
> Integral gekommen
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-e^-^x} dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-2e^-^x} dx}[/mm]
>
> Ist dies richtig.
>
> Habe versucht dieses Integral mit Substitution zu lösen,
> allerdings ohne Erfolg. Hatte nach der Substitution immer
> noch ein x drin.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
> Viele Grüße, Yonca
Hallo Yonca,
es scheint, dass du die Sache mit der Substi-
tution noch nicht ganz verstanden hast.
Gehen wir mal von dem aus, was M.Rex schon
gezeigt hat:
[mm] $\integral \frac{-\,e^{x}}{\left(e^{x}+2\right)\cdot\left(e^{x}+1\right)}\,dx [/mm] $
Substituiere jetzt $\ [mm] u:=\,e^x$ [/mm] (mit $\ [mm] du\,=\,e^x*dx$ [/mm] )
Dann hast du:
[mm] $\integral \frac{-\,1}{\left(u+2\right)\cdot\left(u+1\right)}\,du [/mm] $
Jetzt kann man den Bruch zerlegen.
LG , Al-Chwarizmi
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