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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 13.08.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt} [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich habe hier zwei mal die partielle Integration angewendet:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=\bruch{1}{2}([e^t*sin(2t)]_{0}^{\pi}-\integral_{0}^{\pi}{e^t*2cos(2t)dt})
[/mm]
da [mm] [e^t*sin(2t)]_{0}^{\pi}=0 [/mm] folgt
[mm] =-\integral_{0}^{\pi}{e^t*cos(2t)dt}
[/mm]
= [mm] -[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}-2\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}
[/mm]
Insgesamt also
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}+2*\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=-[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}
[/mm]
-> [mm] \bruch{5}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=-[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}
[/mm]
[mm] ->\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=-\bruch{2}{5}[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}
[/mm]
das kann aber nicht stimmen, da laut lösung:
[mm] \bruch{1}{10}[(sin(2t)e^t-2cos(2t)*e^t)]_0^{\pi}
[/mm]
rauskommen muss.
Bin über jeden Hinweis sehr dankbar.
Lg
Laura
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Hallo,
vorneweg eine Bemerkung: ich persönlich integriere bei solchen Aufgaben stets zunächst unbestimmt und berechne das eigentliche Integral dann mit der so erhaltenen Stammfunktion. Wobei hier auch dein Weg etwas hat, er ist nur etwas schwieig nachvollziehabar.
> Bestimmen Sie das Integral
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}[/mm]
> Hallo
> Zusammen,
>
> ich habe hier zwei mal die partielle Integration
> angewendet:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=\bruch{1}{2}([e^t*sin(2t)]_{0}^{\pi}-\integral_{0}^{\pi}{e^t*2cos(2t)dt})[/mm]
>
Soweit stimmt das. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da [mm][e^t*sin(2t)]_{0}^{\pi}=0[/mm] folgt
>
> [mm]=-\integral_{0}^{\pi}{e^t*cos(2t)dt}[/mm]
Hier ist dir der Faktor 1/2 verloren gegangen.
>
> = [mm]-[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}-2\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}[/mm]
>
> Insgesamt also
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}+2*\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=-[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}[/mm]
>
> -> [mm]\bruch{5}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=-[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}[/mm]
>
> [mm]->\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}=-\bruch{2}{5}[e^t*cos(2t)]_{0}^{\pi}[/mm]
>
> das kann aber nicht stimmen, da laut lösung:
>
> [mm]\bruch{1}{10}[(sin(2t)e^t-2cos(2t)*e^t)]_0^{\pi}[/mm]
>
> rauskommen muss.
Der Fehler korrespondeirt genau damit, dass du das Doppelte herausbekommst. Rechne das ganze also zur Kontrolle durch und beachte die Sache mitd em Vorfaktor, dann sollte es passen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Di 13.08.2013 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
erstmal vielen dank für die schnelle Hilfestellung.
>
> > da [mm][e^t*sin(2t)]_{0}^{\pi}=0[/mm] folgt
> >
> > [mm]=-\integral_{0}^{\pi}{e^t*cos(2t)dt}[/mm]
>
> Hier ist dir der Faktor 1/2 verloren gegangen.
>
sry, hier haette ich es ausführlicher aufschreiben sollen.
Ich habe die 2 aus dem Integral rausgezogen und dies danach mit 1/2 multipliziert daher nur [mm] -1*\integral_{0}^{\pi}{e^t*cos(2t)dt}
[/mm]
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Hallo,
> Hallo,
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>
> erstmal vielen dank für die schnelle Hilfestellung.
>
>
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>
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> >
> > > da [mm][e^t*sin(2t)]_{0}^{\pi}=0[/mm] folgt
> > >
> > > [mm]=-\integral_{0}^{\pi}{e^t*cos(2t)dt}[/mm]
> >
> > Hier ist dir der Faktor 1/2 verloren gegangen.
> >
>
>
> sry, hier haette ich es ausführlicher aufschreiben
> sollen.
>
> Ich habe die 2 aus dem Integral rausgezogen und dies danach
> mit 1/2 multipliziert daher nur
> [mm]-1*\integral_{0}^{\pi}{e^t*cos(2t)dt}[/mm]
ups, ja natürlich (das war mein Fehler, sorry dafür). Dein Fehler ist viel elementarer, und er ist dir ganz am Ende deiner Rechnung unterlaufen. Dort hast du nämlich nach dem Integral
[mm] \int_{0}^{\pi}{sin(2t)*e^t dt}[/mm]
aufgelöst, während doch die Hälfte davon gesucht ist.
Die Musterlösung enthält halt als Nebelkerze noch den Teil mit dem Sinus, der ja eben im Fall deiner Schranken Null wird, und wenn du das berücksichtigst, wirst du mir Recht geben, dass jetzt alles passt (hoffentlich). 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Di 13.08.2013 | | Autor: | Laura87 |
vielen lieben dank, dass du nochmal drüber geschaut hast. Jetzt hab ich es endlich verstanden.
Lg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Di 13.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Schneller gehts übers Komplexe:
$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{sin(2t)\cdot{}e^t dt}= \bruch{1}{2}Im( \integral_{0}^{\pi}{e^{(1+2i)t}dt}) [/mm] $
FRED
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