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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Do 14.11.2013 | | Autor: | EllaK |
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{(\bruch{1}{z})^{\bruch{m+n}{2}}dz}
[/mm]
Kann ich das mit der ln Fkt integrieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{(\bruch{1}{z})^{\bruch{m+n}{2}}dz}[/mm]
>
> Kann ich das mit der ln Fkt integrieren?
Ich setze mal [mm] a:=\bruch{m+n}{2}, [/mm] wobei ich davon ausgehe, dass m und n natürliche Zahlen sind, also ist a>0. Dann geht es also um das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{z^a} dz}
[/mm]
Das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{z^a} dz} [/mm] konvergiert genau dann, wenn a<1 ist.
Das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{z^a} dz} [/mm] konvergiert genau dann, wenn a>1 ist.
Damit ist [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{z^a} dz} [/mm] divergent.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 14.11.2013 | | Autor: | EllaK |
Okay, danke.
Aber ich muss dieses Integral ja ausrechnen, also es sozusagen "aufleiten".
Wie kann ich das machen?
m, n [mm] \in \IN
[/mm]
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Hallo,
> Okay, danke.
> Aber ich muss dieses Integral ja ausrechnen, also es
> sozusagen "aufleiten".
Autsch. 
> Wie kann ich das machen?
>
> m, n [mm]\in \IN[/mm]
Dann musst du eine Fallunterscheidung vornehmen, da der Fall
[mm] \bruch{m+n}{2}=1
[/mm]
gesondert betrachtet werden muss.
Aber wie FRED im nächsten Beitrag schreibt, ist das alles völlig sinnfrei!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke.
> Aber ich muss dieses Integral ja ausrechnen, also es
> sozusagen "aufleiten".
Aua !!!!!
> Wie kann ich das machen?
Wozu ?? $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{z^a} dz} [/mm] $ divergiert. Da 1/z [mm] \ge [/mm] 0 auf (0, [mm] \infty) [/mm] ist, ist
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{z^a} dz} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
FRED
>
> m, n [mm]\in \IN[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:17 Fr 15.11.2013 | | Autor: | EllaK |
Also wozu ich es brauche, kann ich erklären.
Ich muss für meine Seminararbeit den E(X) der F-Verteilung beweisen.
Beim Beweis dafür bin ich auf den Erwartungswert der Zufallsvariable [mm] \bruch{1}{X} [/mm] gestoßen.
Dies ist mein Ansatz:
[mm] E(\bruch{1}{X})= \integral_{\infty}^{-\infty}{\bruch{1}{X} * f(x;m,n) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{X}*m^{\bruch{m}{2}}*n^{\bruch{n}{2}}\cdot{}\frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\cdot{}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot{}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(m\cdot{}x+n)^{\frac{m+n}{2}}} dx}
[/mm]
da x bei x<0 0 ergibt und nicht konvergiert, fängt das Integral somit bei 0 an.
so, nun ziehe ich alle nicht von x abhängigen Teile raus:
= [mm] m^{\bruch{m}{2}}*n^{\bruch{n}{2}}\cdot{}\frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\cdot{}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{X} * \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(m\cdot{}x+n)^{\frac{m+n}{2}}} dx}
[/mm]
Und ab dieser Zeile komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht, wie ich dieses Integral zu berechnen habe.
Ich habe es mit Substitution probiert, dann kommt aber [mm] \bruch{x^{\bruch{m}{2}-2}}{m}*\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{z^{\bruch{m+n}{2}}} dz} [/mm] raus. Zur Erklärung: z:= mx+n
Aber da kann ich ja nicht "weiterrechnen", da es ja divergiert.
Ich weiß, dass [mm] E(\bruch{1}{X}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-2} [/mm] ergeben muss. Komme leider nicht auf das Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 15.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Nur als Hinweis: nach der Substitution kannst Du das x nicht vor das Integral ziehen. Du musst es auch in das entsprechende z umwandeln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Sa 16.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Ella,
da gibts gerade eine ähnliche Diskussion.
Darin gibt Luis hier einen ![[]](/images/popup.gif) Link, der Dir auch weiterhelfen könnte.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 17.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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