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| Aufgabe | Geben Sie für jedes Intervall, auf dem die Funktion f definiert ist, eine Stammfunktion an.
f(x) = [mm] \bruch{2x^3}{x^4+1} [/mm] |
Hi. Diese Aufgabe haben wir heute in der Schule gemacht, allerdings verstehe ich nicht wirklich, wie wir auf das Ergebnis gekommen sind. Schaute mir das gerade noch etwas länger an .. aber komme nicht drauf, hoffe mir kann jemand helfen und es mir erklären.
Lösung: [mm] \bruch{1}{2}(ln(x^4+1)
[/mm]
Aus [mm] \bruch{1}{x} [/mm] kann ich die Stammfunktion machen, ist mir auch verständlich. Aber bei der oben genannten Funktion scheiterts dann bei mir. & Substitution hatten wir noch nicht, haben die Woche erstmal angefangen ln-Funktionen abzuleiten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Di 02.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Geben Sie für jedes Intervall, auf dem die Funktion f
> definiert ist, eine Stammfunktion an.
> f(x) = [mm]\bruch{2x^3}{x^4+1}[/mm]
> Hi. Diese Aufgabe haben wir heute in der Schule gemacht,
> allerdings verstehe ich nicht wirklich, wie wir auf das
> Ergebnis gekommen sind. Schaute mir das gerade noch etwas
> länger an .. aber komme nicht drauf, hoffe mir kann jemand
> helfen und es mir erklären.
>
> Lösung: [mm]\bruch{1}{2}(ln(x^4+1)[/mm]
>
> Aus [mm]\bruch{1}{x}[/mm] kann ich die Stammfunktion machen, ist mir
> auch verständlich. Aber bei der oben genannten Funktion
> scheiterts dann bei mir. & Substitution hatten wir noch
> nicht, haben die Woche erstmal angefangen ln-Funktionen
> abzuleiten.
Hallo,
wenn man eine Funktion F(x)=ln(f(x)) ableitet, erhält man nach Kettenregel [mm] F'(x)=\bruch{f'(x)}{f(x)}.
[/mm]
Wenn man umgedreht einen Bruch integriert, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, so hat eine Stammfunktion die Form
F(x)=ln(Funktion im Nenner).
Nun ist [mm] 2x^3 [/mm] nicht ganz die Ableitung des Nenners [mm] x^4+1, [/mm] sondern nur die Häfte davon.
Deshalb schreiben wir ganz einfach [mm] \bruch{2x^3}{x^4+1}=0,5\bruch{4x^3}{x^4+1}, [/mm] und jetzt IST der Zähler die Ableitung des Nenners. Somit ist 0,5 ln [mm] (x^4+1) [/mm] eine Stammfunktion.
(Wovon du dich durch Ableiten überzeugen kannst).
Gruß Abakus
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Aaaaah, $ [mm] F'(x)=\bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] $ war mir noch gar nicht so bekannt, machten das ja Schritt für Schritt. Nun wird mir einiges klar. Warst 'ne große Hilfe, danke. :D
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